Fibonacci base

婶婶不是沈沈

于 2023-07-04 12:19:59 发布

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分类专栏：蓝桥杯文章标签：算法

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文章讨论了Fibonacci数列的性质，指出所有正整数都可以表示为Fibonacci数的和，并且每个正整数有唯一的Fibonacci二进制数表示，不允许连续的Fibonacci数。给定一个正整数集合，要求将其转换为Fibonacci二进制数。提供了一个C++代码示例来实现这一转换过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目描述

众所周知，Fibonacci 数列是从 0 和 1 开始，然后，将最后两个数字相加得到下一个数字；即 f(n)=f(n−1)+f(n−2)，n≥2。例如，数列中的第 2 个数字是 1（1＝1+0），第 3 个数字是 2（2＝1+1），第 4 个数字是 3（3＝2+1），依此类推。图 1 给出 Fibonacci 数列 n≤9 的情形。

图 1

Fibonacci 数列在我们生活中出现在许多事情上，有着重要的意义。所有的正整数都可以表示为 Fibonacci 数列中的数字的和；而且，对于每个正整数，存在若干个不同的集合，每个集合由 Fibonacci 数列中的数字组成，集合中的数字的和等于该正整数。例如：13 可以表示为集合 {13}，{5, 8} 或 {2, 3, 8} 中数字的和，17 可以表示为集合 {1, 3, 13} 或 {1, 3, 5, 8} 中的数字的和。

一个正整数可以表示成 Fibonacci 二进制数 anan−1…a2，其数值为 an×f(n)+an−1×f(n−1)+……+a2×f(2)，其中，an=1，而 {an−1,……,a2} 取值 0 或 1。例如，正整数 10 可以表示为 Fibonacci 二进制数 10010(fib)，其数值计算方式如下：1×f(6)+0×f(5)+0×f(4)+1×f(3)+0×f(2)=1×8+0×5+0×3+1×2+0×1=10。

一个正整数可以有多个 Fibonacci 二进制数表达，例如，6=5+1=1001(fib)，而 6 又可以表示成 6=3+2+1=111(fib)。因为任何两个连续的 Fibonacci 数的和就是下一个的 Fibonacci 数。为此，本题设定在集合中不能有两个连续的 Fibonacci 数，即 Fibonacci 二进制数中没有连续的 1；这样，每个正整数就有一个唯一的 Fibonacci 二进制数表示。如上例，6 被唯一地被表示为 1001(fib)。再例如，17 = 100101 (fib)，如图 2 所示。

图 2

给出一个正整数的集合，请您将这些数表示成 Fibonacci 二进制数。

输入输出格式

输入格式 输入的第一行给出一个数字 n，表示后面的给出多少个正整数（1≤n≤500）。然后给出 n 行，每行给出一个小于 100 000 000 的正整数。

输出格式 请您对输入中的 n 个整数中的每一个数输出一行，格式为 DEC BASE=FIB BASE(fib)，其中，DEC BASE 是给出的十进制的数，FIB BASE 是以 Fibonacci 二进制数表示的数字。请参见样例输出。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int f[40]={0, 1}, B[40], n, m, i; //f为斐波那契数列 b为二进制数的权值 
   
    for (int i = 2; i < 40; ++ i)//计算前40为的斐波那契数列 
        f[i] = f[i-1] + f[i-2];
   
    cin >> n;   //输入测试用例数n
    while (n --) {   //每次循环处理一个测试用例
        cin >> m;   //测试用例正整数m
        cout << m << " = ";
        for (i = 39; i > 1; -- i) {  //从高到低，找不大于m的Fibonacci数f[i]
            if (f[i] <= m) {   //当前Fibonacci数不大于m 第一次小于的数 必选的 
                B[i] = 1;   // Fibonacci二进制数位赋值1
                m -= f[i];
            }else B[i] = 0; 
        }
        i = 39;
        while (!B[i]) -- i;
        while (i > 1) cout<<f[i]<<" "<<B[i--]<<endl;
        cout << " (fib)" << endl;
    }
    return 0;
}