蓝桥杯2023年第十四届省赛真题-冶炼金属（二分法）

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本文介绍了如何解决一道关于冶炼金属的编程问题，通过转化率V的计算和二分查找策略，确定在给定N组独立数据下的最小和最大转化率。作者详细解析了暴力法和二分法的应用，并给出了C语言的完整代码实现。

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*个人学习及思路记录，含个人浅薄理解，可供参考。

题目：

蓝桥杯2023年第十四届省赛真题-冶炼金属 - C语言网 (dotcpp.com)

题目分析：

关键词：转化率V，原料数A，产物数B，N组独立数据；
题目翻译：对于单组数据： $Bi = \frac{Ai}{Vi}$ ，可得整数Vi取值范围[Vimin,Vimax]。
对N组Vi取交集得到合法V，即合法V对所有A与B应满足: $B=\frac{A}{V}$ ，V取值范围[Vmin,Vmax]。Vmin、Vmax即为题目所求。
PS：除法默认向下取整（结果是某一整数定值），但本题中V明显是要取一整数范围的未知数，因此 $Bi = \frac{Ai}{Vi}$ 这里不能简单等价于Vi = Bi/Ai，正确思路后面有详细解析。
转编程思维：
（暴力法）：按上述翻译，对所有求得的Vmin、Vmax求交集（因为题目保证有解，所以求max{Vimin}、min{Vimax}）。

二分法思路：

“合法V对所有A与B应满足: $B=\frac{A}{V}$ ，V取值范围[Vmin,Vmax]”
《==》对所有合法V，满足 $Bi\leq \frac{Ai}{V}< Bi+1$ （此处除法不取整）

《==》对所有合法V，满足 $\frac{Ai}{Bi+1}\leq V\leq \frac{Ai}{Bi}$ (此处除法不取整)

《==》对[Vmin,Vmax]，一定满足 $\frac{Ai}{Bi+1} +1\leq Vmin\leq Vmax\leq \frac{Ai}{Bi}$ （此处除法取整）

******注意左边界是 $\frac{Ai}{Bi+1} +1$ 而不是 $\frac{Ai}{Bi+1}$ *******

得到如下区间图：

问题拆解与具体分析：

求Vmin:
对V<Vmin，由交集思维，至少有一组数据不满足 $V\geq \frac{Ai}{Bi+1} +1$ ，即至少有一组数据满足 $V< \frac{Ai}{Bi+1} +1$ (以下除法均取整)；
对V>=Vmin，所有V满足 $V\geq \frac{Ai}{Bi+1} +1$ 。
由此得出循环终止条件与if-else分类标准：

while (lmin < rmin) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (mid < a[i]/(b[i]+1)+1) {
			lmin = mid + 1;
			flag = 1;  //标记，该mid处于min左侧
			break;
		}
	}
	if (!flag) {
		//mid处于min右侧，则执行
		rmin = mid;
	}
	mid = lmin + rmin >> 1;
	flag = 0;   //刷新flag
}
flag = 0;
}

求Vmax同理。
```
while (lmax < rmax) {
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		if (mid > a[i]/b[i]) {
			rmax = mid -1;
			flag = 1;   //标记，该mid处于max右侧
			break;
		}
	}
	if (!flag) {
		//mid处于max左侧，则执行
		lmax = mid;
	}
	mid = lmax + rmax + 1>> 1;
	flag = 0;
}
```
tips：
是否进行+-1修正和不等式是否取等同步（恰好取等时不能进行修正）；
修正时Vmin可由小趋大、Vmax可由大趋小，因此求Vmax的时候mid = lmax + rmax + 1>> 1，否则可能会出现某一步lmax正好取max-1而无法进行修正、进入死循环的情况。

完整代码：


/*
小蓝有一个神奇的炉子用于将普通金属 O 冶炼成为一种特殊金属 X。
这个炉子有一个称作转换率的属性 V，V 是一个正整数，这意味着消耗 V 个普通金属 O
恰好可以冶炼出一个特殊金属 X，当普通金属 O 的数目不足 V 时，无法继续冶炼。
现在给出了 N 条冶炼记录，每条记录中包含两个整数 A 和 B，这表示本次投入了
A 个普通金属 O，最终冶炼出了 B 个特殊金属 X。每条记录都是独立的，
这意味着上一次没消耗完的普通金属 O 不会累加到下一次的冶炼当中。
根据这 N 条冶炼记录，请你推测出转换率 V 的最小值和最大值分别可能是多少，
题目保证评测数据不存在无解的情况。
*/
//#include <bits/stdc++.h>
#include<iostream>
#include<vector>

#define ll long long
#define endl '\n'

using namespace std;


void solve() {
	int n;
	cin >> n;
	vector<ll>a(n), b(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> a[i] >> b[i];
	}
	//  输入

	ll lmin = 1; ll rmin = 1e9;
	ll mid = lmin + rmin >> 1; 
	int flag = 0;
	while (lmin < rmin) {
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			if (mid < a[i]/(b[i]+1)+1) {
				lmin = mid + 1;
				flag = 1;  //标记，该mid处于min左侧
				break;
			}
		}
		if (!flag) {
			//mid处于min右侧，则执行
			rmin = mid;
		}
		mid = lmin + rmin >> 1;
		flag = 0;   //刷新flag
	}
	flag = 0;
	// 处理min

	ll lmax = 1; ll rmax = 1e9;
	mid = lmax + rmax + 1>> 1;
	while (lmax < rmax) {
		for (int i = 0; i < n; i++) {
			if (mid > a[i]/b[i]) {
				rmax = mid -1;
				flag = 1;   //标记，该mid处于max右侧
				break;
			}
		}
		if (!flag) {
			//mid处于max左侧，则执行
			lmax = mid;
		}
		mid = lmax + rmax + 1>> 1;
		flag = 0;
	}
	//  处理max

	cout  << lmin << ' '<< lmax;
	//  输出
}




int main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	cin.tie(0);
	cout.tie(0);

	solve();
	return 0;
}

吐槽：蓝桥杯真题初尝试，每一条说明背后都是一个坑......明明是简单的一道题但感觉自己把所有的坑全栽了一遍......