【模糊数学】2.3模糊集合

2.3 模糊集合

(1) 模糊集合的定义：

给定论域 U中的一个模糊集 A，它是指对于任意元素 x∈U，该元素不同程度地属于这个集合。元素属于集合的程度可以通过隶属函数来表示，该隶属函数的值在区间 [0, 1] 内。

例2.3.1：
设论域 U={张三,李四,王五}，评语为“学习好”。假设三个人的学习成绩总评分分别是：张三得95分，李四得90分，王五得85分。三人都学习好，但成绩有所差异。

若采用普通集合的观点，使用特征函数：

$\mu A(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若}x>80\\ 0,& \text{若}x\le 80\end{array}$

那么对于张三、李四和王五，特征函数值均为1，无法区分三人之间的差异。

然而，如果采用模糊集合的概念，使用隶属函数来表示他们属于“学习好”模糊集的程度。假设根据他们的成绩，隶属度分别为：

$\mu A(张三)=0.95,\mu A(李四)=0.90,\mu A(王五)=0.85$

这能够反映出他们之间的差异。

例2.3.2：
设论域 U={x1,x2,x3,x4}，表示4个人对“工作认真”的评价。每个人的工作认真程度在 [0,1] 区间内打分，得到如下隶属度：

$\mu A(x1)=0.35,\mu A(x2)=0.72,\mu A(x3)=0.97,\mu A(x4)=0.83$

这表明，模糊集“工作认真”对于每个人的符合程度。

例2.3.3：
设论域为15到35岁之间的人群，模糊集 AA 表示“年轻人”。假设隶属函数如下定义：

$\mu A(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若}x\le 25\\ \frac{35-x}{10},& \text{若}25<x\le 35\\ 0,& \text{若}x>35\end{array}$

那么，年龄为30岁的人属于“年轻人”的程度为：μA(30)=0.5

(2) 模糊集合的表示法：

1. Zadeh表示法： （使用 “+” 和 “/” 作为分隔符）

在Zadeh表示法中，模糊集合的表示形式通常如下：
$A=x1/\mu A(x1)+x2/\mu A(x2)+\cdots +xn/\mu A(xn)$

其中：

• x1,x2,…,xn 是模糊集合中的元素。
• μA(x1),μA(x2),…,μA(xn) 是这些元素的隶属度，表示它们对模糊集合 A 的隶属程度。
• 使用斜杠（/）将元素和隶属度分开，使用加号（+）连接各个元素和其隶属度对。

示例：

假设有一个模糊集合 A，表示“温度适宜”的状态，它包含三个元素 x1,x2,x3，分别是“温度为20°C、25°C、30°C”时对应的隶属度分别是0.8、1.0和0.6。那么，Zadeh表示法表示为：
A={20/0.8+25/1.0+30/0.6}

特点：

• 简洁明了：这种表示法直接且简洁，通过分隔符“/”表示元素与隶属度的关系，通过“+”将多个元素与隶属度对连接起来，适合于描述离散元素的模糊集合。
• 适用于离散集合：通常用于表示具有离散元素的模糊集合，对于连续的模糊集合，通常需要通过隶属度函数来表示。

与其他表示法的对比：

• Zadeh表示法（+ 和 /） 与序偶表示法类似，后者通过有序对 (x,μA(x)直接表示元素及其隶属度。两者的区别在于表示的格式和符号，Zadeh表示法使用加号和斜杠，而序偶表示法使用“(元素, 隶属度)”对。

2. 序偶表示法：
   模糊集也可以用序偶的形式表示，形式如下：
   $A=(x1,\mu A(x1)),(x2,\mu A(x2)),\dots ,(xn,\mu A(xn))$
   例如，模糊集“高个子”的序偶表示为：
   $A=(178,0.88),(180,0.90),(175,0.85),(165,0.78),(172,0.8)$

3. 隶属函数描述法：
   如果论域 U=[15,35]，模糊集“年轻”可以由隶属函数来表示：

${\mu }_A(x)=\{\begin{array}{ll}1,& \text{若}x\le 25\\ \frac{35-x}{10},& \text{若}25<x\le 35\\ 0,& \text{若}x>35\end{array}$

此时隶属函数呈现出一个梯形的形状。

(3) 模糊集合的运算：

模糊集合可以进行交、并、补等运算：

• 模糊集交：μA∩B(x)=min⁡(μA(x),μB(x))
• 模糊集并：μA∪B(x)=max⁡(μA(x),μB(x))
• 模糊集补：μ¬A(x)=1−μA(x)

例2.3.5：
设论域 U={a,b,c,d,e} 上有两个模糊集 A 和 B，它们的隶属度分别为：
A={(a,1.0),(b,2.0),(c,4.0),(d,3.0),(e,5.0)}
B={(a,4.0),(b,7.0),(c,1.0),(d,8.0),(e,2.0)}

求 A∩B 和 A∪B：

• 交集 A∩B: A∩B={(a,1.0),(b,2.0),(c,1.0),(d,3.0),(e,2.0)}
• 并集 A∪B: A∪B={(a,4.0),(b,7.0),(c,4.0),(d,8.0),(e,5.0)}

(4) 模糊运算的性质：

模糊集合具有与普通集合相似的运算性质：

• 交换律：A∩B=B∩A，A∪B=B∪A
• 结合律：(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)
• 分配律：A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
• 幂等律：A∩A=A，A∪A=A
• 摩根律：¬(A∩B)=¬A∪¬B，¬(A∪B)=¬A∩¬B

(5) 隶属度函数及其确定：

• 经典集合的特征函数：只能取0和1两个值。
• 模糊集合的隶属函数：可以取值在 [0, 1] 范围内，与连续逻辑相对应。

常见的隶属函数包括：

• 高斯型隶属度函数
• 广义钟型隶属度函数
• S形隶属度函数
• Z形隶属度函数