数据结构中的平衡搜索树 --- AVL树是怎样进行旋转处理的？（平衡因子版本）

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前言

        搜索二叉树

AVL树

节点的定义

插入

旋转

---

前言

搜索二叉树

搜索二叉树 又称 二叉排序树，它或者是一棵空树，或者是具有以下性质的二叉树:

• 若它的左子树不为空，则左子树上所有节点的值都小于根节点的值
• 若它的右子树不为空，则右子树上所有节点的值都大于根节点的值
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树

示例：

具体可以查看搜索二叉树

         但是二叉搜索树有其自身的缺陷，假如往树中插入的元素有序或者接近有序，二叉搜索树就会退化成单支树（或接近单只树），二叉搜索树的性能就失去了，并且 时间复杂度会退化成O(N)，因此需要对底层结构进行平衡处理，即采用平衡树（AVL树、红黑树）来实现，使二叉搜索树的性能都能达到最优.

AVL树

AVL树的概念

        二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查 找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下 。因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii和E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右 子树高度之差的绝对值不超过 1( 需要对树中的结点进行调整 ) ，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

一棵 AVL 树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

• 它的左右子树都是AVL树
• 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1） --- 一般是右子树减去左子树等于根

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在 $O(log_2 n)$ ，搜索时间复杂度 O($log_2 n$) 。

AVL树节点的定义

template<class K, class V>
class AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K,V>* _left;	//左子树节点
	AVLTreeNode<K, V>* _right;	//右子树节点
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;	//父节点
	pair<K, V> _kv;
	int _bf; //balance factor :平衡因子

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		,_kv(kv)
		,_bf(0)
	{}
};

AVL树的插入

AVL 树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此 AVL 树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

• 按照二叉搜索树的方式插入新节点
•  调整节点的平衡因子

template<class K,class V>
class AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		//_root为空
		if (_root == nullptr) 
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		//_root不为空
		Node* cur = _root;
		Node* parent = nullptr;   //记录cur的父节点，方便进行链接

		while (cur)
		{
			if (kv.first < cur->_kv.first)  //插入的值小于存储的值
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if(kv.first > cur->_kv.first) //插入的值大于存储的值
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false; //相等，则插入失败
			}
        }

			//当前位置为空