1234. 倍数问题-优快云博客

本文讲述了如何使用朴素动态规划解决背包问题中的状态计算，重点在于状态转移方程的优化以及如何通过贪心策略提高时间效率，最终实现AC解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1.朴素dp，超时

/*
  组合问题求最优解：背包问题
  
  闫氏分析法：f(i, j, k)：一个限制条件，一个维度
  
  1.状态表示：从前i个数中取j个数模K的值为k的和的最大值
            答案就是：f(n, 3, 0);
  
  
  2.状态计算：01背包，取或者不取第i个数
      取：f(i - 1, j, k);
      不取：f(i - 1, j, ((k - a[i]) % k + K) % K)) + a[i]; //  注意，C++中取模%可能为负数
      f(i, j, k) = max(f(i - 1, j, k), f(i - 1, j, ((k - a[i]) % k + K) % K)) + a[i]);          
            
            
  3.已知(x + A) % K = k，求 x % K

    解：x + A = k + PK;
        x = k - A + PK; // 即 x 与 k - A 同余
        x % K = (k - A) % K;
        
  4.时间计算
    1e5 * 4 * 1e3 = 4 * 1e8, 超时1s
        
  5.优化
  
*/
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <vector>

using namespace std;

const int N = 1e5 + 10;

int n, K, a[N];

int main()
{
  cin >> n >> K;
  
  for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
  
  // 初始化
  vector<vector<vector<int>>> dp(n + 1, vector<vector<int>>(4, vector<int>(K, -2e9)));
  
  // 前n个数选0个数模k的值为0的和最大值都为0
  for(int i = 0; i <= n; i++) dp[i][0][0]  = 0;
  
  for(int i = 1; i <= n; i++)
    for(int j = 1; j <= 3; j++)
      for(int k = 0; k < K; k++)
        dp[i][j][k] = max(dp[i-1][j][k], dp[i-1][j-1][((k - a[i]) % K + K) % K] + a[i]);
  
  cout << dp[n][3][0] << endl;
  
  return 0;
}