第6章 计算机的运算方法

目录

6.1 无符号数和有符号数

6.1.1 无符号数

6.1.2 有符号数

1、机器数与真值：

2、原码表示法：

3、反码表示法：

4、补码表示法：

5、移码表示法：

6.2 数的定点表示和浮点表示

6.2.1 定点表示

6.2.2 浮点表示

6.2.3 IEEE 754标准

6.3 定点运算

6.3.1 移位运算

6.3.2 加法和减法运算

6.3.3 乘法运算

6.3.4 除法运算

6.4 浮点运算

6.4.1 浮点加减运算​​​​​​​

---

6.1 无符号数和有符号数

• 在计算机中参与运算的数有两大类：无符号数和有符号数。

6.1.1 无符号数

• 所谓无符号数，即没有符号的数，在寄存器中的每一位均可用来存放数值。
• 寄存器的位数反映无符号数的表示范围。
• 寄存器的位数通常也称为机器字长。

6.1.2 有符号数

1、机器数与真值：

• 真值：带正负号的数
• 机器数：符号数字化的数（用”0“表示“正”，用”1“表示“负”）
  • 小数：

    

  • 整数：

    

2、原码表示法：

• 原码表示简单明了，并易于和真值转换。
• 符号位为0表示正数，符号位为1表示负数。数值位即真值的绝对值。
• 原码表示又称为带符号的绝对值表示。
• 为了书写方便以及区别整数和小数，整数的符号位和数值位之间用逗号隔开；小数的符号位和数值位之间用小数点隔开。
• 原码中的“零”有两种表示形式。

3、反码表示法：

• 正数：原码 = 反码
• 负数：反码可用原码除符号位外每位取反求得。
• 原码中的“零”有两种表示形式。

4、补码表示法：

• 引入补码的概念是为了消除减法运算。
• 一个负数加上“模”即得该负数的补数。
• 一个正数和一个负数互为补数时，它们绝对值之和即为模数。
• 正数的补数为其本身。
• 变形补码：双符号位的补码。
• 当真值为正时：原码 = 反码 = 补码
• 当真值为负时，补码可用原码除符号位外每位取反，末位加1求得。
• 当真值为负时，原码可用补码除符号位外每位取反，末位加1求得。
• 【y】补连同符号位在内，每位取反，末位加1即得【-y】补。
• 补码中的“零”只有一种表示形式。

5、移码表示法：

• 同一个真值的补码与移码只差一个符号位。
• 用移码表示浮点数的阶码，能方便地判断浮点数的阶码大小。
• 补码中的“零”只有一种表示形式。

---

6.2 数的定点表示和浮点表示

6.2.1 定点表示

• 没有任何硬件可以用来标识小数点的位置。
• 定点机：采用定点数的机器
• 定点数：纯整数、纯小数

6.2.2 浮点表示

• 浮点数即小数点的位置可以浮动的数。
• 为了提高数据精度以及便于浮点数的比较，在计算机中规定浮点数的尾数用纯小数形式，将尾数最高位为1的浮点数称为规格化数。
• 浮点数表示成规格化形式后，其精度最高。

1、浮点数的表示形式：

• 浮点数由阶码j和尾数S两部分组成。
• 阶码是整数，阶符和阶码的位数m合起来反映浮点数的表示范围，以及小数点的实际位置。
• 尾数是小数：其位数n反映了浮点数的精度。
• 尾数的符号代表浮点数的正负。
• 计算机中浮点数的阶码和尾数可以采用同一种机器数表示，也可以采用不同的机器数表示。

2、浮点数的表示范围：

• 上溢：阶码 > 最大阶码
• 下溢：阶码 < 最小阶码     按机器零处理

3、浮点数的规格化形式

• r = 2：尾数最高位为1
• r = 4：尾数最高2位不全为0
• r = 8：尾数最高8位不全为0
• 基数不同，浮点数的规格化形式不同。

4、浮点数规格化：

• r = 2：
  • 左规：尾数左移1位，阶码减1
  • 右规：尾数右移1位，阶码加1

• r = 4：
  • 左规：尾数左移2位，阶码减1
  • 右规：尾数右移2位，阶码加1

• r = 8：
  • 左规：尾数左移3位，阶码减1
  • 右规：尾数右移3位，阶码加1
• 基数r越大，可表示的浮点数的范围越大。
• 基数r越大，浮点数的精度降低。

notes：机器零：

• 当浮点数尾数为0时，不论其阶码为何值，按机器零处理。
• 当浮点数阶码等于或小于它所表示的最小数时，不论尾数为何值，按机器零处理。

6.2.3 IEEE 754标准

•  S为数符，它表示浮点数的正负。
• 阶码用移码表示，尾数用原码表示。

---

6.3 定点运算

6.3.1 移位运算

• 在计算机中，移位与加减配合，能够实现乘除运算。

1、算数移位：

• 对有符号数的移位称为算数移位。
• 算术移位的规则：符号位不变

  

•  算术移位的硬件实现：

  

2、逻辑移位：

• 对无符号数的移位称为逻辑移位。
• 逻辑左移：低位添0，高位移丢

• 逻辑右移：高位添0，低位移丢

6.3.2 加法和减法运算

• 减法运算可以看作被减数加上一个减数的负值。
• 现代计算机中都采用补码作加减法运算。

1、补码加减运算的基本公式：

•  连同符号位一起相加，符号位产生的进位自然丢掉。

2、溢出判断：

• 一位符号位判溢出：
  • 符号不同的两个数相加是不会溢出的。
  • 符号相同的两个数相减是不会溢出的。
  • 参加操作的两个数符号相同，其结果的符号与原操作数的符号不同，即为溢出。
  • 硬件实现：最高有效位的进位 异或 符号位的进位 = 1  ——> 溢出
• 两位符号位判溢出：
  • 结果的双符号位相同  未溢出
  • 结果的双符号位不同  溢出
    • 最高符号位代表其真正的符号

6.3.3 乘法运算

1、笔算乘法：

• 乘积的符号心算求得
• 乘法运算可用加和移位实现（先加法后移位）
• 由乘数的末位决定被乘数是否与原部分积相加，然后右移一位形成新的部分积，同时乘数右移一位（末位移丢），空出高位存放部分积的低位。
• 被乘数只与部分积的高位相加。

2、原码的一位乘法运算：

• 乘积的符号位单独处理。
  • 乘积的符号位由两原码符号位异或运算结果决定。
• 数值部分为绝对值相乘。
• 特点：
  • 绝对值运算
  • 用移位的次数判断乘法是否结束
  • 逻辑移位

3、补码的一位乘法运算：

• 被乘数任意，乘数为正：
  • 与原码乘相似，但加和移位按补码规则运算，乘积的符号自然形成。
• 被乘数任意，乘数为负：
  • 乘数【y】补，去掉符号位
  • 与原码乘相似，但加和移位按补码规则运算，乘积的符号自然形成。
  • 最后加【-x】补校正
• Booth算法（被乘数、乘数符号任意）：
  • 符号位参与运算，每次移位是补码的“算数右移”
    • 符号位不动，数值位右移，正数右移补0，负数右移补1（符号位是啥就补啥）
  • 辅助位 - MQ中最低位 = 1时，【ACC】+【X】补
  • 辅助位 - MQ中最低位 = 0时，【ACC】+ 0
  • 辅助位 - MQ中最低位 = -1时，【ACC】+【-X】补
  • 一般来说，Booth算法的被乘数、部分积采用双符号位补码。

乘法小结：

• 整数乘法与小数乘法过程完全相同，可用逗号代替小数点。
• 原码乘   符号位单独处理
• 补码乘   符号位自然形成
• 原码乘去掉符号位运算，即为无符号数乘法。

6.3.4 除法运算

1、笔算除法：

• 商符单独处理、心算求得。

2、原码除法：

• 商的符号位单独处理
• 数值部分为绝对值相除
• 约定：
  • 小数定点除法：x* < y*
  • 整数定点除法：x* > y*
  • 被除数不等于0
  • 除数不能为0
• 恢复余数法：
  • 余数为正，上商1，逻辑左移
  • 余数为负，上商0，恢复余数，逻辑左移

• 不恢复余数法：
  • 不恢复余数法又称为加减交替法、
  • 用移位的次数判断除法是否结束。

---

6.4 浮点运算

6.4.1 浮点加减运算

• 首先写出x，y在计算机中的补码表示。
• 对阶：
  • 使两个操作数的小数点位置对齐，即使两数的阶码相等。
  • 先求阶差，再按小阶向大阶看齐的原则，对阶。
• 尾数求和：
• 规格化：
  • 当尾数的最高数值位与符号位不同时，即为规格化形式。
  • 有溢出：右规
  • 未溢出：左规
• 舍人