二分查找与二分答案：高效算法在单调序列中的应用-优快云博客

二分查找与二分答案

前言

二分查找是在有序的序列的基础上的一种非常高效的查找方法。

二分答案可以用于这样一类题目：

正着进行枚举非常麻烦，而且时空复杂度很高。
对于某一种情况是否符合判断相对容易

例题

P2249 【深基13.例1】查找

题目描述

输入 n 个不超过10^9的单调不减的（就是后面的数字不小于前面的数字）非负整数a*1,a2,…,a n，然后进行 m 次询问。对于每次询问，给出一个整数 q，要求输出这个数字在序列中第一次出现的编号，如果没有找到的话输出 −1 。

输入格式

第一行 2 个整数 n 和 m，表示数字个数和询问次数。

第二行 n 个整数，表示这些待查询的数字。

第三行 m 个整数，表示询问这些数字的编号，从 1 开始编号。

输出格式

输出一行，m 个整数，以空格隔开，表示答案。

输入输出样例

输入 #1复制

11 3
1 3 3 3 5 7 9 11 13 15 15
1 3 6

输出 #1复制

1 2 -1

说明/提示

数据保证，1≤n≤10^6，0≤a i,q≤10^{9，1≤*m*≤10}5

本题输入输出量较大，请使用较快的 IO 方式。

思路

本题已经出现了单调区间，属于二分查找题目，可以算是最朴素的板子题

代码实现

#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n,m;
    cin>>n>>m;
    int a[1000010]={};
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    while(m--)
    {
        int number;
        int flag=0;
        cin>>number;
        int i=1;
        int j=n;
        while(i<=j)
        {
            int mid=(i+j)/2;
            if(a[mid]==number) flag=1;
            if(a[mid]<number) i=mid+1;
            else j=mid-1;
        }
        if(flag) cout<<i<<" ";
        else cout<<"-1 ";
    }
    return 0;
}

P1824 进击的奶牛

题目描述

Farmer John 建造了一个有 N(2 ≤ N ≤100000) 个隔间的牛棚，这些隔间分布在一条直线上，坐标是 x1 ,…,x N (0 ≤x i ≤ 1000000000)。

他的 C(2 ≤ C ≤ N) 头牛不满于隔间的位置分布，它们为牛棚里其他的牛的存在而愤怒。为了防止牛之间的互相打斗，Farmer John 想把这些牛安置在指定的隔间，所有牛中相邻两头的最近距离越大越好。那么，这个最大的最近距离是多少呢？

输入格式

第 1 行：两个用空格隔开的数字 N 和 C。

第 2 ~ N+1 行：每行一个整数，表示每个隔间的坐标。

输出格式

输出只有一行，即相邻两头牛最大的最近距离。

输入输出样例

输入 #1

输出 #1

思路

本题是典型的二分答案，对于直接枚举距离，时间复杂度较高，但是如果从答案出发进行二分，就能很好的解决这类问题

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=1e5+5;
int a[maxn]={};
int n,c;
bool pd(int mid)
{
    int sum=1;
    int now=a[1];
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]-now>=mid) sum++,now=a[i];
    }
    if(sum>=c) return true;
    return false;
}
int main()
{
    cin>>n>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
    sort(a+1,a+n+1);
    int l=1,r=a[n]-a[1];
    int mid;
    while(l<=r)
    {
        mid=(l+r)/2;
        if(pd(mid)) l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    cout<<r<<endl;
    return 0;
}