用贪心算法计算十进制数转二进制数（整数部分）

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分类专栏：程序与算法文章标签：贪心算法算法十进制转二进制

于 2024-06-01 10:18:15 首次发布

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十进制整数转二进制数用什么方法？网上一搜，大部分答案都是用短除法，也就是除2反向取余法。这种方法是最基本最常用的，但是计算步骤多，还容易出错，那么还有没有其他更好的方法吗？

一、短除反向取余法

具体的步骤是不断将十进制数除以2，每次记录余数，直至商为0，然后把所有余数从下向上(反向)的顺序排列，即得到二进制数。

例如，把十进制数69转换为二进制数，结果为1000101，计算过程如图1所示。

通过观察图1，可以看出：

$69=1\times 2^{6}+0\times 2^{5}+0\times 2^{4}+0\times 2^{3}+1\times 2^{2}+0\times 2^{1}+1\times 2^{0}$ （1）

一般表达式为：

$a=\sum_{i=0}^{i=n}\left ( c_{i}\ast 2^{i} \right )$ ， $c_{i}\in \left \{ 0,1 \right \}$ （2）

十进制数转化为二进制数的结果就是把系数 $c_{i}$ 从 $i=n$ 到 $i=0$ （从最高位到最低位）的排列。

如果把（1）式中的系数 $c_{_i}=0$ 的项去掉，那么有

$69=2^{6}+2^{2}+2^{0}$ （3）

也就是把十进制数转换为二进制的过程，实际上就是把十进制数转换为若干个以2为底的幂运算之和，那么一般表达式为：

$a=\sum_{i=0}^{i=m}2^{n_{i}}$ （4）

在（3）式中， $n_{0}=6$ ， $n_{1}=2$ ， $n_{2}=0$ 。

也就是在十进制的69转换为二进制后，数位序号为0，2，6的项系数为1，其他项系数都为0（数位序号从右向左依次增1，最低位序号为0），如表1所示，表格中橙色项系数为1，白色项系数为0。

二、贪心算法

那么如何快速求 $n_{i}$ 呢？本人经过研究发现，利用贪心算法的思维，可以很好的解决这个问题。

贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的是在某种意义上的局部最优解。

假设十进制数为 $a$ ，根据公式（4），用贪心算法思维进行十进制转二进制计算的步骤为：

（1）先找出 $a$ 中最大的那一项 $2^{n_{i}}$ ，并记录 ${n_{i}}$ ；

（2）把最大项的值从 $a$ 中减掉： $a=a-2^{n_{i}}$

（3）跳转到步骤（1）循环计算，直到 $a=0$ ，计算结束。

例如，十进制数 $a=69$ ，计算过程为：

（1）找出69中最大的项为64，也就是 $2^{6}$ ，记录 $n_{0}=6$ ；

（2） $a=69-64=5$ ；

（3）找出5中最大的项为4，也就是 $2^{2}$ ，记录 $n_{1}=2$ ；

（4） $a=5-4=1$ ；

（5）找出1中最大的项为1，也就是 $2^{0}$ ，记录 $n_{2}=0$ ；

（6） $a=1-1=0$ ，计算结束；

计算的结果为：69= $2^{6}$ + $2^{2}$ + $2^{0}$ =64+4+1

二进制数位序号0，2，6的项为1，其他位序号的项为0，得到结果为1000101。

对比短除法和贪心法，可以发现，贪心算法计算步骤少，准确率也较高，不容易算错，但是需要我们事先记住一些常用的 $2^{n}$ 的值，这样才有助于我们更快找出最大项。表2为 $0\leqslant n\leqslant 10$ 的 $2^{n}$ 的值。

**表2 常用2为底幂的值**
$2^{n}$	$2^{0}$	$2^{1}$	$2^{2}$	$2^{3}$	$2^{4}$	$2^{5}$	$2^{6}$	$2^{7}$	$2^{8}$	$2^{9}$	$2^{10}$
值	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

（本文结束）