【QED】爱丽丝与火石酒馆的诅咒

题目

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题目背景

「那个男人肩上的鹦鹉发出了尖叫，接着，爱丽丝听见了一声冰冷的声音，”打开时空之门。”」

「前有故事，因此，跳过是可行的」

「鲈食传说是艾泽拉斯知名的一种卡牌对战游戏，爱丽丝得知附近的火石酒馆将要举办一场盛大的比赛。爱丽丝很想要冠军的奖品，所以她决定参加比赛。显然这场比赛的火热超出了爱丽丝的预料，酒馆门口排满了各种各样的人。等待一段时间后，爱丽丝发现事情不对劲，她始终没有进入酒馆。似乎每隔15分钟，她就会回到最开始排队的状态，而她前面的兽人似乎没有察觉到这一件事。“镲剌剌…”的声音响起，打破了爱丽丝的思考。她注意到一个硕大的身躯在朝着自己靠近，他的全身缠满各种锁链，隐隐可以看见有暗红的鲜血从下面渗出，爱丽丝看不清他的脸，那里似乎因为锁链的紧缚而开裂，从红色的肤色和体格上大致能看出是一个兽人，断开的脚链在沙砾地上被拖着往前走，发出不悦的声音。“吱呀”一声，他坐在了酒馆门口那张空桌子上，干脆地把一副牌甩到桌子上。他看向爱丽丝，粗犷洪亮的声音响起：“过来。打赢我。诅咒解除。”爱丽丝必须赶紧进入酒馆，所以这场比赛她不得不打。但很快，爱丽丝遇到了困难，她必须想办法解掉对手的一波场面，否则她很可能会输掉比赛。」

题目描述

为了方便你更好的理解题意，下面先会进行鲈食传说游戏规则的介绍:
双方在一个棋盘上进行游戏，棋盘分为两个部分（如图）。

玩家的手牌分为两种：随从牌和法术牌。

1.随从牌拥有攻击力和生命值，攻击力代表它可以对敌方随从造成的伤害值；生命值意味着它能承受的伤害。当一个随从的生命值归零后，它便会死亡。当你使用一张随从牌后，它会被放置在场面上。

2.法术牌使用后会产生一种即时生效的效果。

攻击：当随从攻击另一个随从时，它们各自受到对方攻击力造成的伤害。

法力水晶：每一张牌的使用都需要法力水晶，当你使用一张牌，就会消耗这张牌所描述的法力水晶数量（具体参考下面的卡牌牌面）。如果你没有足够的法力水晶，你就无法使用对应消耗的牌。

场面：指放置在棋盘上的随从牌，法术牌只能对在场面上的随从牌生效。

亡语：一个随从死亡后会产生亡语所描述的效果（如拥有亡语：对所有随从造成1点伤害的随从死亡后,会对场面上的所有随从造成1点伤害）。

爱丽丝一共拥有三种卡牌：

$1$ 张法术牌“绝望丝镂”，消耗$1$点法力水晶，它的效果如图：

（使所有随从获得“亡语：对所有随从造成1点伤害”）

$1$ 张拥有 $1$ 点攻击力，$1$ 点生命值的随从牌“石牙野猪”，消耗 $1$ 点法力水晶，它具有冲锋(你可以理解为：它是本题中唯一可以进行攻击的随从)。

无数张拥有 $1$ 点攻击力，$3$ 点生命值的随从牌“银背族长”，消耗 $3$ 点法力水晶，它们不能进行攻击。

（你无需在意嘲讽的效果）

对手的场面上拥有n个随从，它们各自拥有 $1$ 点攻击力，以及 $a_i(1\le i\le n)$ 点生命值。

对手的随从同样不能进行攻击。

爱丽丝的场面上没有随从。

请问爱丽丝能否用手上的牌消灭对手场面上的所有随从，如果能，请输出一个字符串djwnb和最少的法力水晶消耗值；不能，输出一个字符串djwcb和 $-1$ 。

【输入格式】

共 $2T+1$ 行

第一行：一个整数 $T$，表示测试用例的数量

每组测试用例两行输入：
第一行：三个整数 $n，k，p$ ，对手场面的随从数量 $n$，爱丽丝拥有的法力水晶数量 $k$ ，爱丽丝场上最多可放置的随从数量 $p$ 。
第二行：$n$ 个整数 $a_i$，对手场面随从各自的生命值。

【输出格式】

共 $2T$ 行，每 $2$ 行为一组，代表一个测试用例。其中：
第 $1$ 行，一个字符串，djwnb或djwcb。
第 $2$ 行，一个整数，代表最少的法力水晶消耗值（如果不能，输出$-1$）。

数据范围

$1\le T\le 5000$
$0\le n\le 7$
$0\le k\le 20$
$0\le p\le 7$
$1\le a_i\le 20$

【测试样例】

2
1 0 1
20
3 10 7
2 2 4

djwcb
-1
djwnb
5

样例说明

Test1解释：
法力水晶不足，无法使用任何卡牌。

Test2解释：
先使用一张“石牙野猪”和一张“银背族长”，再使用一张“绝望丝缕”使场面上所有随从获得亡语效果。
(ps: 表格中数字代指随从的生命值)

对手场面：	$224$
爱丽丝场面：	$13$

接着“石牙野猪”攻击对手一张$2$点生命值的随从,双方各自受到$1$点伤害，此时

对手场面：	$124$
爱丽丝场面：	$03$

“石牙野猪”死亡，触发亡语效果，对全场随从造成$1$点伤害，此时

对手场面：	$013$
爱丽丝场面：	$02$

一个随从生命归零死亡，触发亡语效果,此时

对手场面：	$002$
爱丽丝场面：	$01$

随从死亡，触发亡语效果

对手场面：	$001$
爱丽丝场面：	$00$

爱丽丝场面上的“银背族长”生命值归零，触发亡语效果,此时

对手场面：	$000$
爱丽丝场面：	$00$

共消耗了$5$点法力水晶,成功消灭对手场面上的所有随从。

篝火的余温「愿你的细致永不遗漏」

思路

通过模拟爱丽丝使用卡牌的顺序来最小化法力水晶的消耗，并且满足随从数量的限制。代码中首先对数据进行排序，然后根据不同的条件进行处理，最终输出是否能胜利以及最少的法力水晶消耗
以下几个主要步骤：

1. 输入解析和初始化
   每组测试用例中，首先获取以下信息：
   n：对手场面的随从数量
   k：爱丽丝的法力水晶数量
   p：爱丽丝场上最多可以放置的随从数量
   a[]：一个长度为 $n$ 的数组，表示对手每个随从的生命值
   这些数据首先被输入并存储在相应的变量和数组中。

2. 对手随从生命值排序
   我们对对手的随从生命值进行排序（从小到大）。这样做是为了在后续使用爱丽丝的随从时，能先解决生命值较低的随从，从而减少法力水晶的消耗。

3. 边界情况处理
   如果对手没有随从$（n==0）$，那么直接输出“成功”并消耗 $0$ 点法力水晶。
   如果没有足够的法力水晶$（k==0）$或者爱丽丝的场上没有空位放随从$（p==0）$，则无法进行任何操作，直接输出“失败”并返回 $-1$。

4. 处理单个随从的情况
   如果对手只有一个随从$（n==1）$，那么我们需要特别处理：
   如果这个随从的生命值是 $1$，则爱丽丝可以直接攻击消灭它，消耗 $1$ 点法力水晶。
   如果这个随从的生命值是 $2$，则需要消耗 $2$ 点法力水晶。这个条件是因为爱丽丝需要用 石牙野猪 和 绝望丝缕 这两张卡来消灭对手的随从，消耗正好为 $2$。
   其他情况则无法处理，输出 $-1$。

5. 处理多个随从的情况
   贪心策略： 对于对手场面上有多个随从的情况，采用贪心策略进行消灭。具体来说：
   首先，假设爱丽丝用 石牙野猪（攻击力 $1$，生命值 $1$）进行攻击。每一次攻击都会消耗 $1$ 点法力水晶，并对敌方随从造成 $1$ 点伤害。如果敌方随从生命值超过 $1$，就需要更多的攻击来消灭它。
   同时，爱丽丝的场面上每次放置 银背族长 需要消耗 $3$ 点法力水晶，这些随从并不能进行攻击，只能作为辅助。
   接着，使用 绝望丝镂（消耗 $1$ 点法力水晶，所有随从都获得亡语效果，触发时造成 $1$ 点伤害）来帮助消耗对方的随从。
   法力水晶消耗的计算：
   在处理每个随从时，我们尝试用最少的法力水晶消灭对方的随从。对于每个随从，我们尽量使用最少数量的随从来消耗它（即使用 石牙野猪）。
   每个随从的消耗需要通过计算它的生命值来决定。如果当前随从的生命值大于攻击力 $1$，则需要用更多的随从或技能来消耗。
   法力水晶消耗更新：
   每次攻击都会消耗法力水晶，并根据随从的生命值差异增加法力消耗。
   如果一个随从的生命值大于已放置的随从数量时，就需要增加更多的随从，这会增加法力水晶消耗。

6. 判断法力水晶和随从数量限制
   经过贪心策略的计算后，我们得到所需的法力水晶消耗总值 $totalMana$，以及最少的随从数量。
   然后，检查是否满足以下条件：
   爱丽丝拥有足够的法力水晶$（totalMana\le k）$。
   爱丽丝可以在场上放置足够数量的随从（$totalMana/3+1\le p$，因为每个随从消耗 $3$ 点法力水晶）。

7. 输出结果
   如果上述条件满足，则输出“成功”并返回最少的法力水晶消耗值。
   否则，输出“失败”并返回 $-1$。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

vector<int> a;  // 用于存储对手随从的生命值
int n, k, p;  // n: 对手场面的随从数量，k: 爱丽丝拥有的法力水晶数量，p: 爱丽丝最多可以放置的随从数量

// 处理每个测试用例的逻辑
void solve() {
    // 读取输入的对手随从数量、法力水晶数量、以及最大可放置的随从数量
    cin >> n >> k >> p;
    a.clear();  // 清空随从生命值数组

    // 读取对手随从的生命值，并且只保留非零生命值的随从
    for (int i = 0, x; i < n; i++) {
        cin >> x;
        if (x) a.push_back(x);  // 仅保留生命值非零的随从
    }

    n = a.size();  // 更新有效随从的数量
    sort(a.begin(), a.end());  // 对随从的生命值进行升序排序

    // 如果对手没有任何随从，直接输出成功
    if (n == 0) {
        cout << "djwnb\n0\n";
        return;
    }

    // 如果没有足够的法力水晶或者无法放置随从，直接输出失败
    if (!k || !p) {
        cout << "djwcb\n-1\n";
        return;
    }

    // 处理当对手仅有一个随从的特殊情况
    if (n == 1) {
        // 如果对手的随从生命值为 1，或者生命值为 2 且法力水晶足够，则可以击败
        if (a[0] == 1 || (a[0] == 2 && a[0] <= k)) {
            cout << "djwnb\n" << a[0] << '\n';
        } else {
            cout << "djwcb\n-1\n";  // 否则无法击败
        }
        return;
    }

    // 如果第二个随从的生命值大于 2，且无法通过调整前两个随从的生命值消灭对手，则返回失败
    if (a[1] > 2) {
        if (!(a[0] == 1 && a[1] == 3)) {
            cout << "djwcb\n-1\n";
            return;
        }
    } else if (a[0] == 1) {
        // 如果最小生命值为 1，则调整随从的生命值，使其差距不超过 1
        for (int i = n - 2; i >= 0; i--) 
            if (a[i + 1] - a[i] > 1)  // 发现差距大于 1，则减少后续随从的生命值
                a[i + 1]--;
    }

    // 初始化最少的法力水晶消耗值为 2（即至少需要2个随从），并设定当前可放置随从的总生命值为 3
    int ans = 2, tot = 3;
    
    // 处理剩下的随从
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        // 如果当前随从的生命值大于当前的可放置总生命值，逐步增加消耗的法力水晶
        while (a[i] > tot) {
            ans += 3;  // 每次增加3点法力水晶
            tot++;     // 随着随从的增加，逐步增加可以放置的随从总生命值
        }
        tot++;  // 放置一个随从后，增加总的放置生命值
    }

    // 判断是否能够在法力水晶和随从数量限制下，消灭所有对手随从
    if (ans <= k && ans / 3 + 1 <= p) {
        cout << "djwnb\n" << ans << '\n';  // 如果可以，则输出成功并显示最少的法力水晶消耗
    } else {
        cout << "djwcb\n-1\n";  // 否则输出失败
    }
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);  // 加速输入输出
    cin.tie(0);  // 防止输入输出流干扰
    int T;
    cin >> T;  // 读取测试用例数量
    while (T--)  // 遍历每个测试用例
        solve();  // 处理当前测试用例
    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度

对于 T 个测试用例，每个测试用例的时间复杂度是$O(nlogn)+O(n)=O(nlogn)$ 。因此，最终的总时间复杂度是 $O(T\ast nlogn)$
由于 $n\le 7$，所以 $nlogn$ 是常数，因此时间复杂度简化为$O(T)$

空间复杂度

在每个测试用例中，主要的空间消耗是随从生命值数组 $a[]$，其空间复杂度是 $O(n)$。在最坏情况下，所有测试用例的总空间复杂度是 $O(n)$