m0_65604669的博客

线性变换理论要研究的一个主要问题是：对于 nnn 维线性空间 VVV 上的线性变换 A\mathscr{A}A ，是否存在 VVV 的一个基使得 C\mathscr{C}C 在这个基下的矩阵为对角矩阵。定义1．10．1 数域 FFF 上的 nnn 维线性空间 VVV 的线性变换 B\mathcal{B}B 称为可对角化的，如果 VVV 中存在一个基，使得 A\mathscr{A}A 在这个基下的矩阵为对角矩阵。定义1．10．2 若 nnn 阶矩阵 A\boldsymbol{A}A 与对角矩阵相似，则称 A\

线性变换在不同基下的矩阵表示ABC⋯是互不相同的，而这些矩阵表示之间都是彼此相似的．因此，如何选择恰当的基使得线性变换在该基下的矩阵表示尽可能简单（例如对角形矩阵，准对角形矩阵等）．为此需要讨论线性变换的不变子空间．定义1．9．1 设A是线性空间V的线性变换，W是V的子空间，如果对于任意向量α∈W都有Aα∈W，则称W是A的不变子空间．并且，A可以看做子空间W上的一个线性变换，称为A在W上的限制，记做A∣W​，而且A∣W​αAα∀α∈W。