图像处理与视觉感知复习--三维重建基础

完整的摄像机模型（摄像机内外参数）

• 径向畸变：图像像素点以畸变中心为中心点，沿着径向产生的位置偏差，从而导致图像中所成的像发生形变

理解三个参考系

1. 摄像机坐标系
2. 像平面坐标系
3. 图像保存到计算机中的像素坐标系（将坐标原点从中心移到左下角）

因此需要移动（偏置）将米为单位转换成以像素为单位
$$\begin{gathered} (x,y,z)\to (f\cdot k\cdot \frac{x}{z}+c_x,f\cdot l\cdot \frac{y}{z}+c_y) \\ 单位k,l为pixel/mf:m \end{gathered}$$

由于焦距 $f$ 和 $k/l$ 都是相机内部的参数，所以将其转换成一个参数$\alpha ,\beta$

因此有将摄像机坐标系中的点 $(x,y,z)$ 转换成像素坐标系下的二维点 $(x^{\prime },y^{\prime })$

齐次坐标系中的投影变换

齐次坐标转换

1. 如何将一个坐标转换成齐次坐标呢？这里以二维和三维的情况为例：
   $$(x,y)\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right](x,y,z)\Rightarrow \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ z\end{array}\right]$$

2. 如何将一个齐次坐标变回去呢？
   $$\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ w\end{array}\right]\Rightarrow (\frac{x}{w},\frac{y}{w})\left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ w\end{array}\right]\Rightarrow (\frac{x}{w},\frac{y}{w},\frac{z}{w})$$

由此可见两者不是一一对应的关系

投影变换
将非线性变换转换成线性变换

为了描述方便讲齐次坐标的字母 $P_h^{\prime }\to P^{\prime }$, $P_h\to P$
后续没有特殊说明，所有坐标均采用齐次坐标表示，因此不在使用h下标标识
有对应关系
$$P^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}\alpha & 0& C_x& 0\\ 0& \beta & C_y& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]=MP$$
由于摄像机制造工业垃圾，像素不一定是正方向，也可能是平行四边形，因此存在一个夹角 $\theta$
因此在 $M$ 这个矩阵中加入 $theta$ 参数，实现从摄像机坐标系中的点转换到没有制作好的相机像素坐标系中
$$P^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}\alpha & -\alpha cot\theta & C_x& 0\\ 0& \frac{\beta }{sin\theta }& C_y& 0\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ z\\ 1\end{array}\right]$$

注：$cot\theta =s$