最大相位裕度时求参数值的方法

        在自控原理中,相位裕度是一个重要的衡量系统稳定程度的参数,我们都希望自己设计的系统具有最大的相位裕度,而通过调节开环增益系数就可以改变系统相位裕度的值,下面我们介绍求最大相位裕度的方法。

        设一系统的开环传递函数为:

        求最大相位裕度时的k值。

        开环函数幅频特性为:

         相频特性为:

         设wc为截止频率,则相位裕度为:

        

         令         

### 如何在波特图中计算增益裕度和相位裕度 #### 增益裕度的定义与计算方法 增益裕度表示的是,在特定频率下,当系统的相位达到-180°,使系统仍保持稳定的最大增益增加量。具体来说,是在相位等于-180°处测量此对应的增益值,并将其转换成分贝形式,再其绝对值得到的结果为正值即为增益裕度[^2]。 对于实际操作而言,找到相角特性曲线上最接近于-180°的位置所对应的那个频率点f_p,在该频率下的对数幅频特性L(f_p)=20lg|A(j*f_p)|就是所谓的开环传递函数在此位置上的增益。如果这个数值小于零,则说明存在一定的安全范围来允许增益提升而不至于引发不稳定现象;反之则意味着当前状态下已经处于临界甚至失稳状态了。因此,增益裕度可以通过下面公式得出: \[ GM = |20\log_{10}(|G(j\omega_c)|)| \] 其中 \( G(j\omega_c) \) 表示在相位穿过-180°这一点上测得的开环增益值。 #### 相位裕度的定义与计算方法 相位裕度是指在增益穿越单位圆(即\( 0dB \)线)的地方,使得闭环系统稳定所需的最小额外正向相移。换句话说就是在增益刚好过零的情况下,为了防止因延迟而产生的振荡或不稳定性,应该预留出来的缓冲区间大小。通常情况下希望此参数越大越好,一般建议至少要超过45°以上才能确保足够的安全性[^3]。 具体的算法如下:先定位出对数幅频特性首次交越\( 0dB \)这条水平直线之处记作频率\( f_g \),接着查看同一刻相对应的角度偏转情况θ(g),最后用180加上这个读数就得到了最终结果: \[ PM = 180^\circ + \angle{G(j\omega_g)} \] 这里需要注意的是,由于计算机仿真软件给出的数据可能是负角度的形式(-180至0之间变化),所以有可能需要调整表达式的写法以适应不同工具之间的差异。 ```matlab % MATLAB代码用于计算增益裕度(GM) 和相位裕度(PM) function [GM,PM]=calculateMargins(sys) % 获取波特图数据 [mag,phase,wout] = bode(sys); % 计算增益裕度 [~,gainMarginFreqIdx] = min(abs(phase+180)); gainAtPhaseCrossover = mag(:,gainMarginFreqIdx); GM = abs(db2mag(gainAtPhaseCrossover)-1)*100; % 计算相位裕度 [~,gainCrossingFreqIdx] = findnearest(mag,1); phaseAtGainCrossover = phase(gainCrossingFreqIdx,:); PM = wrapTo180(unwrap(angle(ss2tf(sys.A,sys.B,sys.C,sys.D)))+pi)*180/pi; end ```
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