2022“杭电杯”中国大学生算法设计超级联赛（4）1001.Link with Bracket Sequence II

最新推荐文章于 2023-02-25 23:03:36 发布

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文章标签：算法 c++

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_63658130/article/details/126043914

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这篇文章讲解了如何使用区间动态规划解决HDU 7174问题，涉及区间内括号序列的生成和匹配策略。博主通过实例演示了如何计算给定数组中合法括号序列的数量，关键在于理解括号类型间的匹配规则并运用dp状态转移方程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：

Problem - 7174 (hdu.edu.cn)

官方题解：

个人题解：

区间dp。a数组为输入数组。

状态表示：dp[i][j]表示区间[i,j]匹配成合法序列的方案数。

转移方程：

$dp[i][j]\sum_{k=i+2c+1}^{j}dp[i+1][k-1]*dp[k+1][j]*val$

（c为正整数,k位置要跟i位置匹配[i,j]长度必须为偶数）

val为位置i与k匹配成括号序列的方案数,显然：

当a[i]=0并且a[k]=0，则i与k匹配的方案有m种；

当a[i]=0并且a[k]<0(k为右括号)，则i与k匹配的方案有1种；

当a[i]>0并且a[k]<0并且a[i]+a[k]=0（i与k的括号类型相同），则i与k匹配的方案有1种；

当a[i]>0(i为左括号)并且a[k]=0，则i与k匹配的方案有1种；

其余：则i与k匹配的方案有0种，即i不能和k匹配成括号序列；

综上：区间[i,j]的匹配方案数等于对于[i,j]所有合法位置k，

i与k匹配的方案*[i+1,k-1]匹配的方案*[k+1,j]匹配的方案(val*dp[i+1][k-1]*dp[k+1][j])

的和。

注意：

由题意，下面这种情况不是合法序列。

详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;
const int N = 500 + 10;
int a[N], dp[N][N]; //dp[i][j]-->区间[i,j]匹配成合法序列的方案数
void solve()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];
    if (n & 1)
    {
        cout << "0\n";
        return;
    }
    for (int i = 0; i <= n + 1; i++)
        for (int j = 0; j < i; j++)
            dp[i][j] = 1;       //防止后续“越界”
    for (int i = 1; i < n; i++) //预处理长度为2的
    {
        if (a[i] == 0)
        {
            if (a[i + 1] == 0)
                dp[i][i + 1] = m;
            else if (a[i + 1] < 0)
                dp[i][i + 1] = 1;
            else
                dp[i][i + 1] = 0;
        }
        else if (a[i] > 0)
        {
            if (a[i + 1] == 0)
                dp[i][i + 1] = 1;
            else if (a[i + 1] + a[i] == 0)
                dp[i][i + 1] = 1;
            else
                dp[i][i + 1] = 0;
        }
        else
        {
            dp[i][i + 1] = 0;
        }
    }
    for (int len = 4; len <= n; len += 2) //区间dp
    {
        for (int i = 1; i + len - 1 <= n; i++) //枚举起点
        {
            int j = i + len - 1, sum = 0;
            if (a[i] == 0)
            {
                for (int k = i + 1; k <= j; k += 2) //能与a[i]组成合法括号(左括号,右括号)
                {
                    if (a[k] == 0)
                    {
                        sum += m * dp[i + 1][k - 1] % mod * dp[k + 1][j] % mod; // 0A0B,A、B为合法序列,i和j匹配有m钟
                    }
                    else if (a[k] < 0)
                    {
                        sum += 1ll * dp[i + 1][k - 1] * dp[k + 1][j] % mod;
                    }
                    sum %= mod;
                }
            }
            else if (a[i] > 0)
            {
                for (int k = i + 1; k <= j; k += 2) //能与a[i]组成合法括号(左括号,右括号)
                {
                    if (a[k] == 0)
                    {
                        sum += 1ll * dp[i + 1][k - 1] * dp[k + 1][j] % mod;
                    }
                    else if (a[k] + a[i] == 0)
                    {
                        sum += 1ll * dp[i + 1][k - 1] * dp[k + 1][j] % mod;
                    }
                    sum %= mod;
                }
            }
            else // i为右括号不可能完成匹配
            {
                sum = 0;
            }
            dp[i][j] = sum % mod;
        }
    }
    cout << dp[1][n] % mod << "\n";
}
signed main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(nullptr), cout.tie(nullptr);
    int T;
    cin >> T;
    for (int i = 1; i <= T; i++)
        solve();
}