牛客多校9 B. Two Frogs （概率dp+前缀和优化）

最新推荐文章于 2025-08-05 19:50:13 发布

Jormungand_1

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分类专栏：刷题文章标签：算法 c++ 开发语言

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/m0_63535901/article/details/126358587

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该篇博客探讨了一种数学问题，涉及两只青蛙在数轴上随机跳跃以到达目标位置。利用动态规划和前缀和优化，计算了两只青蛙在相同步数内同时到达指定荷叶的概率，并给出了具体的C++代码实现。主要算法思想是状态转移方程和前缀和技巧的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：有一个数轴，数轴上有许多点代表荷叶，两只青蛙在1上，要前往n上，两只青蛙每次能在（ i，i+a[i] ]的范围内随机跳跃。求两只青蛙花相同步数跳到n号荷叶上的概率，用998244353取模

思路：设一只青蛙花i步跳到u号荷叶上的概率f[i][u]，通过一只青蛙的概率，可以知道两只青蛙花相同步数跳到n号荷叶的概率res为 $res=\sum_{i=1}^{n}f[i][n]*f[i][n]$ 。故可知状态转移方程为 $f[i+1][j+k]+=a[i]^{-1}*f[i][j] (1<=k<=a[i])$

很明显这个转移方程会将一段数加上同一个值，故可以用前缀和优化

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
const int N = 8100, mod = 998244353;
#define int long long
int f[N][N], a[N], get_nv[N];
int qmi(int a) {
    int b = mod - 2;
    int res = 1;
    while (b) {
        if (b & 1)res = (res * a) % mod;
        a = (a * a) % mod;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
signed main() {
	ios::sync_with_stdio(0);
	
    int n;
    cin >> n;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        cin >> a[i];
        if (i + a[i] > n)a[i] = n - i;
        get_nv[i] = qmi(a[i]);
    }
    f[0][1] = 1;
    f[1][2]+=f[0][1] % mod * get_nv[1] % mod,f[1][1+a[1]+1]-=f[0][1] % mod * get_nv[1] % mod;
    for (int i = 2; i < n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i + 1; j++) {
        	f[j][i+1]=(f[j][i+1]+f[j][i])%mod;
            if (f[j][i] == 0)continue;
            f[j+1][i+1]=(f[j+1][i+1]+f[j][i] % mod * get_nv[i] % mod)%mod,f[j+1][i+a[i]+1]=(f[j+1][i+a[i]+1]-f[j][i] % mod * get_nv[i] % mod)%mod;
        }
    }
    int res = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        res = (res % mod + f[i][n] % mod * f[i][n] % mod) % mod;
    cout << res;
}