吊打记忆递归动态规划（附带例题讲解POJ 1163）

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
const int N=1e7+10;
int MAXsum(int i,int j);
int n;int a[MAX][MAX];
int main()
{
	cin>>n;
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=i;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	cout<<MAXsum(1,1);
	return 0;
}

int MAXsum(int i,int j)
{
	if(i==n)
	return a[i][j];
	else
	{
		int x=MAXsum(i+1,j);
		int y=MAXsum(i+1,j+1);
	 return max(x,y)+a[i][j];
	}
}

方法二：记忆递归

方法一之所以耗时是因为递归出现了重复调用，计算。导致效率低下。所以我们采用一种办法，就是计算过的位置不再计算，将其记住，需要的时候直接调用。

这里使用一个maxsum数组来记录每次计算的结果

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
const int N=1e7+10;
int MAXsum(int i,int j);
int n;int a[MAX][MAX];
int maxsum[MAX][MAX];
int main()
{
	cin>>n;
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=i;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
			maxsum[i][j]=-1;//-1代表还没计算
		}
	}
	cout<<MAXsum(1,1);
	return 0;
}

int MAXsum(int i,int j)
{
	if(maxsum[i][j]!=-1)//检测到不等于-1说明该位置计算过了
	return maxsum[i][j];
	else if(i==n)
	maxsum[i][j]= a[i][j];
	else
	{
		int x=MAXsum(i+1,j);
		int y=MAXsum(i+1,j+1);
	    maxsum[i][j] = max(x,y)+a[i][j];
	}
	return maxsum[i][j];
}

方法三：递推（递归的逆运算

我们可以直接用双循环，从数据的底部向上地推出每一个数的MaxSum，这样也能避免递归的重复计算

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAX 101
const int N=1e7+10;
int n;int a[MAX][MAX];
int maxsum[MAX][MAX];
int main()
{
	cin>>n;
	int i,j;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=1;j<=i;j++)
		{
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	for(i=n,j=0;j<=n;j++)
	{
		maxsum[i][j]=a[i][j];
	}
	for(i=n-1;i>=1;i--)
	{
		for(j=1;j<=i;j++)
		{
			maxsum[i][j]=max(maxsum[i+1][j],maxsum[i+1][j+1])+a[i][j];//从下到上进行递推合并
		}
	}
	cout<<maxsum[1][1];
	return 0;
}

总结动态规划解题一般思路：

1.将原问题分解为子问题（分治思想）

1.把原问题分解为若干个子问题，子问题和原问题相同或类似，通过逐步分解的办法使得原问题规模变小到可以直接解决出子问题，原问题便得到了解决。（在数在三角形中分解到数字三角形的底边，便得到答案了）

2.子问题一旦求出，便被保存，避免再次重复计算，所以每个子问题都只需求一次。（可以用数组保存每次求解子问题的答案）

2.确定状态

所有状态的集合，构成问题的状态空间，状态空间的大小与动态规划解决问题的时间直接相关。与子问题相关的各个变量的一组取值，称之为一个状态，同样一个状态对应于一个或多个子问题。而某个状态的值一旦确定，那么该子问题便得到了解决。

我们通常创立一个数组来存放该状态下的值，该值不一定是一个整数或浮点数，可能是需要一个结构才能表示，那么该数组可以是结构体数组。一个状态下的值可以是一个或多个子问题的解

（数字三角形里共有n(n+1)/2个数据，则对应有这么多状态，确定了每个状态的值，问题便得到了解决）

3.确定一些初始状态（边界状态）的值

比如 ”数字三角形“，我们确定的初始状态就是底边的一行数据，而其对应的值就是底边数字本身。然后由已知推未知。

4.确定状态转移方程

定义出了状态，以及在该状态下的值以后，我们要找出不同状态之间要如何迁移。即从一个或多个已知值的状态找出另一个状态的值，那么我们就需要它们之间的关系式，递推公式，也称作”状态转移方程“。类似于小学所讲的应用题，由题目找出数据之间的关系。也就是说，该方程就蕴含在题目当中。

例如例题中数字三角形的状态转移方程就是：