Python每日一练-----除数博弈_pyhton爱丽丝和鲍勃一起玩游戏,他们轮流行动。爱丽丝先手开局。最初,黑板上有一-优快云博客

n=1 的时候，区间 (0, 1) 中没有整数是 n的因数，所以此时 Alice 败。
n = 2 的时候，Alice 只能拿 1，n 变成 1，（因为 0 < x < n，所以Bob不能拿1）Bob 无法继续操作，故Alice 胜。
n = 3的时候，Alice 只能拿 1，n 变成 2，根据 n = 2的结论，我们知道此时 Bob 会获胜，Alice 败。
n=4 的时候，Alice 能拿 1 或 2，如果Alice 拿 1，根据 n = 3 的结论，\text{Bob}Bob 会失败，Alice 会获胜。
n = 5 的时候，Alice 只能拿 1，根据n=4 的结论，Alice 会失败。
......

我们猜想：n 为奇数的时候Alice（先手）必败，n 为偶数的时候 Alice （先手）必胜。

我们使用数学归纳法证明。

n = 1 和 n = 2时结论成立。

n > 2 时，假设n ≤ k 时该猜想成立，则 n=k+1 时：

如果 k为偶数，则 k + 1 为奇数，x 是k+1 的因数，只可能是奇数，而奇数减去奇数等于偶数，且 k+1−x ≤ k，故轮到 Bob 的时候都是偶数。而根据我们的猜想假设 n ≤ k 的时候偶数的时候先手必胜，故此时无论Alice 拿走什么，Bob 都会处于必胜态，所以Alice 处于必败态。
如果 k为奇数，k+1 为偶数，x 可以是奇数也可以是偶数，若Alice 减去一个奇数，那么 - k+1−x 是一个小于等于 k 的奇数，x1是k+1-x的因数，只能是奇数，此时Bob 占有它，k+1-x-x1为偶数且小于k，相当于Alice偶数先手，Bob处于必败态，则 Alice 处于必胜态。

所以猜想成立。

根据题目都是Alice先手

🌈代码实现

def divisorGame(n):
    return n % 1 == 0

或者

def divisorGame(n):
    return n & 1 == 0

这两种写法都是判断n是否为偶数，第一种写法使用求模运算，第二种方法使用位运算。两种写法时间空间复杂度都是O(1)。不过第二种写法理论来说运算速度更快。

了解位运算：还在为原码、反码、补码和位运算搞得头昏脑涨？点这里，还你清析脑回路

🌟解法二：

我们按照游戏规则进行。

🌈代码实现

def divisorGame(n):
    dp = []
    x = 1
    flag = False
    while x < n + 1:
        if n % x == 0:
            n -= x
            dp.append(flag)
            flag = not flag
            x = 1
        else:
            x += 1
    return dp[-1]

✏代码注释

def divisorGame(n):
    dp = []  # 用于储存游戏结果
    x = 1    # Alice先手最小取1
    flag = False  # 初始化标记值
    while x < n + 1:
        if n % x == 0:
            n -= x
            dp.append(flag)
            """轮到Bob的回合，说明Alice成功找到符合游戏规则的x，
            我们将flag = False变成True，当Bob也从1开始寻找满足的x，
            当Bob找到符合的x后，轮到Alic，这时将flag = True换成flag = False。
            由此可以看出当下一个人找不到满足的x时，对应dp中的最后一个元素满足题意"""
            flag = not flag  
            x = 1
        else:
            x += 1   # 所取的x不满足游戏规则，需要提高x的值
    return dp[-1]

今天就到这，明天见。🚀

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