[ZJOI2008] 骑士（基环树dp）

原创于 2024-07-29 22:48:18 发布

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[ZJOI2008] 骑士

题目描述

Z 国的骑士团是一个很有势力的组织，帮会中汇聚了来自各地的精英。他们劫富济贫，惩恶扬善，受到社会各界的赞扬。

最近发生了一件可怕的事情，邪恶的 Y 国发动了一场针对 Z 国的侵略战争。战火绵延五百里，在和平环境中安逸了数百年的 Z 国又怎能抵挡的住 Y 国的军队。于是人们把所有的希望都寄托在了骑士团的身上，就像期待有一个真龙天子的降生，带领正义打败邪恶。

骑士团是肯定具有打败邪恶势力的能力的，但是骑士们互相之间往往有一些矛盾。每个骑士都有且仅有一个自己最厌恶的骑士（当然不是他自己），他是绝对不会与自己最厌恶的人一同出征的。

战火绵延，人民生灵涂炭，组织起一个骑士军团加入战斗刻不容缓！国王交给了你一个艰巨的任务，从所有的骑士中选出一个骑士军团，使得军团内没有矛盾的两人（不存在一个骑士与他最痛恨的人一同被选入骑士军团的情况），并且，使得这支骑士军团最具有战斗力。

为了描述战斗力，我们将骑士按照 $1$ 至 $n$ 编号，给每名骑士一个战斗力的估计，一个军团的战斗力为所有骑士的战斗力总和。

输入格式

第一行包含一个整数 $n$ ，描述骑士团的人数。

接下来 $n$ 行，每行两个整数，按顺序描述每一名骑士的战斗力和他最痛恨的骑士。

输出格式

应输出一行，包含一个整数，表示你所选出的骑士军团的战斗力。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

提示

数据规模与约定

对于 $30\%$ 的测试数据，满足 $\le 10$ ；

对于 $60\%$ 的测试数据，满足 $\le 100$ ；

对于 $80\%$ 的测试数据，满足 $\le 10 ^4$ 。

对于 $100\%$ 的测试数据，满足 $1\le n \le 10^6$ ，每名骑士的战斗力都是不大于 $10^6$ 的正整数。

思路

这道题就是很典型的基环树，为什么是基环树呢？因为一个点对应一条边（因为不存在没有矛盾的两人）。

基环树dp的操作：它相比于仙人掌树，它的环只有一个，此时我们可以用栈来找它的环，而仙人掌树必须是用targin的改进版（无需缩点的）。

然后基环树有环，因此得破一个点，然后我们就可以操作了：

我们设 f[u][0/1] 表示以 u 为根节点的子树中，根节点选或不选的方案数集合。
状态转移就跟没有上司的舞会那道题类似。

具体代码：

代码

//基环树dp
//f[u][0/1]表示以i的子树中，0表示选，1表示不选的最大战斗力
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>

#define int long long

using namespace std;

const int N = 1e6+10,M = 2*N,INT = 1e18;

int e[M],ne[M],h[N],idx;
int w[N];
bool ins[N],st[N];
int stk[N];//基环树是用栈来实现找环的
int f1[N][2],f2[N][2];//f1为删除前，f2为删后
int n;
int rm[N],ans;

void add(int a,int b){
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}

void dfs_f(int u,int ap,int f[][2]){
    //no u
    for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
        if(rm[i])continue;
        int j=e[i];
        dfs_f(j,ap,f);
        f[u][0]+=max(f[j][0],f[j][1]);
    }
    // yes u
    f[u][1]=-INT;
    
    if(u!=ap){
        f[u][1]=w[u];
        
        for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
            if(rm[i])continue;
            int j=e[i];
            f[u][1]+=f[j][0];
        }
    }
    
}

void dfs_c(int u,int from){
    st[u]=ins[u]=true;
    
    for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
        int j=e[i];
        if(!st[j])dfs_c(j,i);//继续找环
        else if(ins[j]){
            rm[i]=1;//将 u -> j 的边删掉
            dfs_f(j,-1,f1);//j不选
            dfs_f(j,u,f2);//j选
            ans+=max(f1[j][0],f2[j][1]);
        }
        
    }
    ins[u]=false;
}

signed main(){
    cin>>n;
    
    memset(h,-1,sizeof h);
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x;
        cin>>w[i]>>x;
        add(x,i);
    }
    
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(!st[i]){
            dfs_c(i,-1);
        }
    }
    
    cout<<ans;
    
    return 0;
    
}