【二分搜索法 C/C++】洛谷P1102 A-B 数对

2025 - 02 - 13 - 第 52 篇
作者(Author): 郑龙浩 / 仟墨(CSND)
【二分搜索】

洛谷P1102 A-B 数对

题目背景

出题是一件痛苦的事情！

相同的题目看多了也会有审美疲劳，于是我舍弃了大家所熟悉的 A+B Problem，改用 A-B 了哈哈！

题目描述

给出一串正整数数列以及一个正整数 $C$，要求计算出所有满足 $A-B=C$ 的数对的个数（不同位置的数字一样的数对算不同的数对）。

输入格式

输入共两行。

第一行，两个正整数 $N,C$。

第二行，$N$ 个正整数，作为要求处理的那串数。

输出格式

一行，表示该串正整数中包含的满足 $A-B=C$ 的数对的个数。

输入输出样例 #1

输入 #1

4 1
1 1 2 3

输出 #1

3

说明/提示

对于 $75\%$ 的数据，$1\le N\le 2000$。

对于 $100\%$ 的数据，$1\le N\le 2\times 10^5$，$0\le a_i<2^{30}$，$1\le C<2^{30}$。

2017/4/29 新添数据两组、

思路

**DeepSeek 根据我代码，整理的思路:**懒得写思路整理了

好的！下面我将从 问题分析、代码思路、实现细节 和 示例运行 四个方面，清晰地解释这个代码的逻辑，帮助你更好地理解和记笔记。

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1. 题目分析

• 直接暴力枚举所有数对 $A$ 和 $B$，检查是否满足 $A-B=C$，时间复杂度为 $O(N^2)$，对于 $N=2\times 10^5$ 的数据规模来说，这种方法会超时。
• 需要一种更高效的方法来解决这个问题。

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2. 代码思路

2.1 转化问题

将 $A-B=C$ 转化为 $A=B+C$，即在数组中寻找满足 $A=B+C$ 的元素对。

2.2 核心思想

• 对于数组中的每一个元素 $B$，计算 $A=B+C$。
• 统计数组中等于 $A$ 的元素个数，这些元素都可以与 $B$ 组成满足 $A-B=C$ 的数对。

2.3 实现方法

1. 排序：对数组进行排序，以便使用二分查找。
2. 二分查找：
   • 使用 lower_bound 找到第一个等于 $A$ 的位置。
   • 使用 upper_bound 找到第一个大于 $A$ 的位置。
   • 两者之间的差值就是等于 $A$ 的元素个数。
3. 累加结果：将所有满足条件的数对个数累加到 ans 中。

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3. 代码实现细节

3.1 输入处理

long long N, C; // 数组长度 和 差值 C
cin >> N >> C; // 输入数组长度和差值 C
vector<long long> arr(N); // 存储输入的所有数字
for (auto i = arr.begin(); i < arr.end(); i++) {
    cin >> *i; // 输入数组元素
}

• 使用 vector<long long> 存储数组元素，支持动态大小。
• 通过迭代器遍历数组并读取元素。

3.2 排序

sort(arr.begin(), arr.end()); // 对数组进行排序

• 对数组进行升序排序，以便后续使用二分查找。

3.3 遍历数组并统计数对

long long ans = 0; // 存放满足 A - B = C 的数量
for (auto i = arr.begin(); i < arr.end(); i++) {
    auto first_space = lower_bound(arr.begin(), arr.end(), *i + C);
    auto last_space = upper_bound(arr.begin(), arr.end(), *i + C);
    ans += last_space - first_space;
}

• lower_bound：找到第一个大于或等于 $A=B+C$ 的位置。
• upper_bound：找到第一个大于 $A=B+C$ 的位置。
• last_space - first_space：计算等于 $A$ 的元素个数。
• 将满足条件的数对个数累加到 ans 中。

3.4 输出结果

cout << ans; // 输出结果

• 输出最终的数对个数。

4. 总结

1核心思想

• 将 $A-B=C$ 转化为 $A=B+C$，通过排序和二分查找高效解决问题。

2时间复杂度

• 排序：$O(N\log N)$。
• 遍历数组 + 二分查找：$O(N\log N)$。
• 总时间复杂度：$O(N\log N)$。

3空间复杂度

• $O(N)$，用于存储数组。

代码

// 洛谷P1102 A - B 数对
// 2025-02-12
// 郑龙浩 / 仟濹
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <iterator>
#include <vector>
using namespace std;
int main( void ){
    long long N, C; // 数组长度 差(被减数 - 减数 结果)
    cin >> N >> C; // 输入数组长度
    vector <long long> arr( N ); // 存储输入的所有数字
    for ( auto i = arr.begin(); i < arr.end(); i ++ ){
        cin >> *i;
    }
    sort ( arr.begin(), arr.end() );
    long long ans = 0; // 存放满足 A - B = C 的数量
    // 反过来判断，计算 B + C == A 的数量，也就是寻找A的数量
    for ( auto i = arr.begin(); i < arr.end(); i ++ ){
        // first_space - 第一个 B + C 
        // last_space - 最后一个 B + C
        // ans --> A 的数量 == B + C == A 的数量 == A - B 的数量
        auto first_space = lower_bound( arr.begin(), arr.end(), *i + C );
        auto last_space = upper_bound( arr.begin(), arr.end(), *i + C );
        ans += last_space - first_space;
    }
    cout << ans;
    return 0;
}