数论（纯板子）（过段时间再更新( ̀⌄ ́)）-优快云博客

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本文介绍了几种基础但重要的算法实现，包括快速幂、龟速乘两种高效的乘法算法，以及欧几里得算法用于求最大公约数和最小公倍数。此外，还详细讲解了质数的判断、分解质因数以及两种不同的质数筛选方法——埃式筛和线性筛，为理解数论和算法提供了实用的示例。

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1、快速幂

int ksm(int a,int b,int c)
{
  int res=1;
  while(b)
  {
    if( b & 1 ) res=(long long) res * a % c;
    a=a*a%c;
    b>>1;
  }
  return res%c;
}

2、龟速乘

typedef long long ll;
ll gas(ll a,ll b,ll c)
{
  ll res=0;
  while(b)
  {
    if( b & 1 ) res=( res + a ) % c;
    a = a * 2 % c;
    b>>1;
  }
  return res % c;
}

2、欧几里得

int gcd(int a,int b)
{if(b==0)return a;return gcd(b,a%b);}//最大公约数
int lcm(int a,int b)
{if(a*b==0)return 0;return a*b/gcd(a,b);}//最小公倍数

4、质数

1、质数判断

bool is_prime(int n)//O(squr(n))
{
    if(n<2)return false;
    for(int i=2;i<=n/i;i++)if(n%i==0)return false;
    return true;
}

2、分解质因数

void divide(int n)//O(squr(n))
{
    for(int i=2;i<=n/i;i++)
        if(n%i==0)
        {
            int s=0;
            while (n%i==0) {n/=i;s++;}
            printf("%d %d\n",i,s);
        }
    if(n>1)printf("%d %d\n",n,1);
}

3、质数筛--埃式筛

int primes[N],cnt;//cnt，质数的个数
bool st[N];
void get_primes(int n)//埃氏筛O(n*loglog(n))
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])
        {
            primes[cnt++]=n;
            for(int j=i+i;j<=n;j+=i)st[j]=true;
        }
    }
}

4、质数筛--线性筛

int primes[N],cnt;//cnt，质数的个数
bool st[N];
void get_prime(int n)//线性筛O()
{
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!st[i])primes[cnt++]=i;
        for(int j=0;primes[j]<=n/i;j++)
        {
            st[primes[j]*i]=true;
            if(i%primes[j]==0)break;
          //primes[j]一定是i的最小值因子
        }
    }
}