非LL(1)文法到LL(1)文法的等价变换

我们喜欢和需要使用是LL(1)文法，但是我们往往遇到的文法不是LL(1)文法这时候需要将它进行转换转换成LL(1)文法。

这里给出两种方法分别是提取左公因子和消除左递归

1 提取左公因子

含有左公共因子的文法

若文法中含有形如： A→ α β| α r 的产生式，称 文法含有左公共因子

显然 , SELECT(A→αβ)∩SELECT(A→αr) ≠ф , 文法不是 LL(1) 文法

提取左公因子基本思想

通过改写产生式来推迟决定，读入足够多的输 入，获得足够的信息之后，再做出正确判断。

提取左公因子

有左因子的文法 A→αβ1 | αβ2     等价于 A →A’( β1 | β2)

提左因子 A →αA’   A→ β1 | β2

一般定义：

A→δβ1 |δβ 2 |…|δβ n |γ 1 |γ 2 |…|γ m （每个 γ不 以 δ 开头）

可改写为 A→δA’|γ1 |γ 2 |…|γ m    A’→β1 |β 2 |…|β n

这个左公因子有两种形式：显示和隐式的！！！接下来两个例子会讲述这个问题。

例子1：

文法G[S] S →   aSb | aS | ε

请判断该文法是否为LL(1)文法？

解：该文法不是LL(1)文法。

提左因子

S →   aS(b| ε)    S →   ε

引入S’转换成

S →   aSS’    S’→   b| ε    S →   ε  

注意：这里只是举例子讲述原理定义不去判断是否是LL(1)文法！！！具体判断可以参考 LL(1)文法定义及判别_用编程写诗的博客-优快云博客

例子2：

文法 G[A]

A → ad | Bc

B → aA | bB

请判断该文法是否为LL(1)文法？

解：含有隐含左公因子

第一次改写后

G[A] A →   ad | aAc | bBc

B →   aA | bB

我们发现还是有公因子的接着提公因子后

A → aA’| bBc   A’→ d| Ac   B → aA | bB

这个才是最终的结果！！！

消除左公因子小结

经过提取左公因子之后，有些文法从非 LL(1) 文法 变为 LL(1) 文法，有的仍不是 LL(1) 文法。因此，文 法不 含左公共因子只是 LL(1) 文法的必要条件 。

对于隐含的左公因子，可先等价变换为明确的左公 因子之后，再进行提取。

经过提取左公因子之后，有时会使某些规则变为多 余规则 ，故必须检查提取左公因子之后 的文法，去除多余规则。

个别文法不能在有限步之内提取完左公因子。

2 消除左递归

含有左递归的文法

若文法中含有形如

a) A → A β(A ∈ V N , β∈ (V)*) 的规则

b) A →Bβ B→ A α 的规则

那么

在 a) 中含有左递归的规则，称为 直接左递归

在 b) 中虽然没有含左递归的规则， 但 A=> Bβ => Aα β 即 A => + A …, 称为 间接左递归

含有左递归的文法不是一个LL(1)文法证明：

以直接左递归为例，若有如下产生式

A→A α  | A→β

其中 , α 和β 为任意语法符号串。

不难证明有下面关系式：

First( β )⊆  First( A α )⊆ Select( A→A α)

First( β  )⊆  Select( A→ β  )

由于 A→A α 和 A→ β   的 Select 集相交，故含有左递归的 文法不是 LL(1) 文法

对于产生式 P→   Pα|β ( 串的特点 βα . . . α)

α不 为 ε ， β不 以 P开头，则可改写规则为：

P → βP’

P’→αP’| ε

例：S →  Sa|b 可改写为：

S→bS’

S’ →aS’| ε

消除直接左递归一般定义

P →   Pα 1 |Pα 2 |…|Pα m |β 1 |β 2 |…|β n

其中每个 α 均不等于 ε ，每个 β不 以 P 开头，则：

P → β 1 P’|β 2 P’|…|β n P’

P’→ α 1 P’|α 2 P’|…|α m P’|ε

注意：

(1)利用这种方法可以把 直接左递归 都消去，即换成右递归。

(2)但是，这种方法并没有消除整个文法的左递归性。 间接左 递归 仍会存在

消除间接左递归

先将 间接 左递归等价 变换 为等价的 直接 左递归 后再消除左递归

eg:

G[A]

A →   aB | Bb

B →   Ac | d

将规则 1,2 代入 3 中

先变换成直接左递归

A →   aB | Bb

B →   aBc | Bbc | d

再消除 B 的直接左递归

A →   aB | Bb

B →   aBcB’ | dB’

B’  →   bcB’ |  ε

消除左递归

小结

消除左递归之后，有些文法从非 LL(1) 文法变为 LL(1) 文法，有的仍不是 LL(1) 文法。因此，文法不

含左公共因子只是 LL(1) 文法的必要条件。

消除左递归之后，有时会使某些规则变为多余规则， 故必须检查消除左递归之后的文法，去除多余规则 消除左递归的文法在形式上可能不同，但均等价。