算法学习：最短路径SPFA算法

最新推荐文章于 2022-03-17 14:46:23 发布

原创最新推荐文章于 2022-03-17 14:46:23 发布 · 411 阅读

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#算法 #图论 #acm竞赛 #数据结构

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本文详细介绍了SPFA（Shortest Path Faster Algorithm）算法，这是一种优化的贝尔曼-福特算法，用于解决图论中的单源最短路径问题。通过使用队列优化，SPFA在许多情况下效率高于Dijkstra算法。文章提供了算法的实现代码，并通过一个具体的例题解释了算法的运作过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

讲解SPFA使用的例题：

Problem Description
在每年的校赛里，所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时
候，却是非常累的！所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线，你可以帮助他们吗？
Input
输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M（N<=100，M<=10000），N表示成都的大街上有几个路口，标号为1的路口是商店所在
地，标号为N的路口是赛场所在地，M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行，每行包括3个整数A，B，C（1<=A,B<=N,1<=
C<=1000）,表示在路口A与路口B之间有一条路，我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。
Output
对于每组输入，输出一行，表示工作人员从商店走到赛场的最短时间
Sample Input
2 1
1 2 3
3 3
1 2 5
2 3 5
3 1 2
0 0
Sample Output
3
2

可以看我之前总结的几个最短路径算法：
算法学习：最短路径
也是同样的例题。

对队列处理Bellman算法可以很好地优化，这种方法叫做SPFA，SPFA的效率很高，在算法竞赛中的应用很广泛。

Bellman算法有很多低效或无效的操作。分析Bellman算法，其核心部分是在每一轮操作中更新所有结点到起点s的最短距离。计算和调整一个结点u到s的最短距离后，如果紧接着调整u的邻居结点，这些邻居肯定有新的计算结果；而如果漫无目的地计算不与u相邻的结点，很可能毫无变化，所以这些操作是抵消的。

因此，在计算结点u之后，下一步只计算和调整它的邻居，这样能加快收敛的过程。这些步骤可以用队列进行操作，这就是SPFA。

SPFA很像BFS：
（1）起点s入队，计算它所有邻居到s的最短距离（当前最短距离，不是全局最短距离）。把s出队，状态有更新的邻居入队，没更新的不入队。也就是说，队列中都是状态有变化的点，只有这些结点才会影响最短路径的计算。
（2）现在队列的头部是s的一个邻居u。弹出u，更新其所有邻居的状态，把其中有状态变化的邻居入队列。
（3）这里有一个问题，弹出u之后，在后面的计算中u可能会再次更新状态。所以，u可能需要重新入队列。这一点很容易做到：在处理一个新的结点v时，它的邻居可能就是以前处理过的u，如果u的状态变化了，把u重新加入队列就行了。
（4）继续以上过程，直到队列为空。这也意味着所有结点的状态都不再更新。最后状态就是到起点s的最短路径。

基于邻接表的SPFA
在这个程序中，存图最合适的方法是邻接表。上面的步骤（2）是更新u的所有邻居结点的状态，而邻接表可以很快地检索一个结点的所有邻居，正符合算法的需要。
代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF=1e6;
const int NUM=105;
struct edge{
    int from,to,w;
    edge(int a,int b,int c){from=a;to=b;w=c;}
};
vector<edge>e[NUM];
int n,m;
int pre[NUM];
void print_path(int s,int t){
    ;
}
int spfa(int s){
    int dis[NUM];
    bool inq[NUM];
    int Neg[NUM];
    memset(Neg,0,sizeof(Neg));
    Neg[s]=1;
    for(int i=1;i<=n;++i)dis[i]=INF,inq[i]=false;
    dis[s]=0,inq[s]=true;
    queue<int>Q;
    Q.push(s);
    while(!Q.empty()){
        int u=Q.front();
        Q.pop();
        inq[u]=false;
        for(int i=0;i<e[u].size();++i){
            int v=e[u][i].to,w=e[u][i].w;
            if(dis[u]+w<dis[v]){
                dis[v]=dis[u]+w;
                pre[v]=u;
                if(!inq[v]){
                    inq[v]=true;
                    Q.push(v);
                    Neg[v]++;
                    if(Neg[v]>n)return 1;
                }
            }
        }
    }
    printf("%d\n",dis[n]);
    return 0;
}
int main(){
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        if(!n&&!m)return 0;
        for(int i=1;i<=n;++i)e[i].clear();
        while(m--){
            int a,b,c;
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
            e[a].push_back(edge(a,b,c));
            e[b].push_back(edge(b,a,c));
        }
        spfa(1);
    }
}