欧拉函数,逆元,扩展欧几里得,中国剩余定理....OI中的数论知识

最新推荐文章于 2025-08-10 21:28:09 发布

原创最新推荐文章于 2025-08-10 21:28:09 发布 · 338 阅读

1 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#数学 #算法 #算法导论 #欧几里德算法 #acm竞赛

本文深入探讨了欧拉函数的定义及其与互质数的关系，通过实例证明欧拉函数公式，并介绍了欧拉定理的应用，如费马小定理和逆元概念。此外，文章还讲解了扩展欧几里得算法、裴蜀定理、中国剩余定理，以及这些数论工具在解决实际问题中的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

欧拉函数

Ψ(n) 表示不小于n的自然数中，与n互质的数的个数

若一个整数N可以表示为：
$N=p_{1}^{α_{1}}p_{2}^{α_{2}}...p_{n}^{α_{n}}$
则有欧拉函数;
$\frac{1}{p_{1}})(1- \frac{1}{p_{2}})...(1- \frac{1}{p_{n}})$
证明方法：
$1.在1-N中的所有数，筛去p1,p2...P_{m}的所有倍数$

$2.加上所有p_{i}\cdot p_{j}的倍数，减去所有p_{i}\cdot p_{j} \cdot p_{k}的倍数...$

$\frac{1}{p_{1}})(1- \frac{1}{p_{2}})...(1- \frac{1}{p_{n}})$

欧拉定理

$若a与n互质，则有\ a^{Ψ(n)} \equiv 1(mod\ n)$

证明如下：
$a_{1}a_{2}...a_{Ψ(n)}\equiv 1(mod\ n)$

$则a_{1}到a_{n}皆有a*a_{1}\equiv 1(mod\ n)...a*a_{Ψ(n)}\equiv1(mod \ n)$

$以上两式关于n同余，因此消去_{1}a_{2}...a_{Ψ(n)}得到：a^{Ψ(n)}\equiv 1(mod \ n)$

由此我们可以由此推导出费马小定理

$a^{n-1} \equiv 1(mod \ n)$

逆元

逆元的定义：
$若整数b,m互质.对于整数a若满足\frac{a}{b}\equiv a\cdot x(mod\ m)$
则称x为b mod m的乘法逆元，记作：
$\frac{a}{b} \equiv a\cdot b^{-1} (mod\ m)$
因此b的逆元x对于b有如下关系：
$b\cdot x \equiv 1(mod\ m)$
由费马小定理，当m为质数的时候，有:
$b\cdot b^{m-2} \equiv b^{m-1} \equiv 1(mod\ m)$

$因此此时，b^{m-2}便是b关于m的一个逆元$

扩展欧几里得算法

裴蜀定理

对于任意正整数a,b，那么一定存在非零整数x,y使得 ax+by = gcd(a,b)

若ax+by=d，则d为a和b的最大公约数的倍数

证明方法：使用扩展欧几里得进行构造
$\ mod\ b)x=d$

$整理得到\ ax+b(y-[\frac{a}{b}]x)=d$

$因此构造出来的\ x=x ,\ y=y-[\frac{a}{b}]$

代码如下

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
    if(!b){
        x=1,y=0;
        return a;
    }
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return d;
}

中国剩余定理

$m_{1},m_{2}...m_{k}两两互质，求解方程组$

$x\equiv a_{1} (mod\ m)$

$x\equiv a_{2} (mod\ m)$

$. . .$

$x\equiv a_{k} (mod\ m)$

求解过程：
$令M=m_{1}m_{2}...m_{k}$

$M_{i}=M/m_{i}$

$M_{i}^{-1}表示M_{i}\ mod m_{i} \ 的逆$

则通解为：
$x=a_{1}M_{1}M_{1}^{-1}\ + ...\ +\ a_{k}M_{k}M_{k}^{-1}$

$因此我们可以使用扩展欧几里得求M_{i}的逆元，从而求解问题$