01背包问题（python模板）_01 背包python-优快云博客

文章目录

问题概述
01背包特点
01背包（二维数组版本）
- 分析
- 代码
01背包（一维滚动数组版本）

问题概述

有一个背包，最大承重为N，现在要装一些物品i（物品价值为value[i],物品重量为weight[i]），求这个背包装这些物品后的最大价值。

01背包特点

每种物品只有一个，要么选要么不选

01背包（二维数组版本）

分析

dp[i][j]表示在背包容量j从i个物品中任选物品的最大价值dp[i][j]
价值全部先为0，考虑到后面有加法运算。第一行价值需要初始化，从第一行可以承受的重量开始到最后，对第一行第一个物品的价值初始化。
如果物品质量大于背包，说明背包放不下，此时最大价值应为dp[i-1][j]，即就是上一行同列的价值。同样的空间，但因为放不下，所以最大价值和上一行同列最大价值相等。
如果物品质量小于等于背包，说明背包放得下。现在分为两种情况，即放和不放。
如果不放，当前最大价值为上一行同列价值dp[i-1][j]
如果放，当前最大价值为预留空间最大价值加物品的价值，即dp[i-1][j-weight[i]]+ value[i]
遍历顺序这里任意，无论是先背包还是先物品都可以，习惯上一般先物品，再背包

代码

weight =[1,3,4]
value = [15,20,30] 
Max = 4 # 背包的最大容量

dp = [[0]*5  for i in range(3)] # dp[i][j]表示i物品在j容量中的最大价值

for i in range(weight[0],Max+1):
    dp[0][i] = value[0]


for i in range(1,3): 
    for j in range(1,5):
        if weight[i] > j: # 如果物品质量大于背包，说明放不下
            dp[i][j] = dp[i-1][j] # 和上一行最大价值一致
        else:
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+ value[i]) 

print(dp)

01背包（一维滚动数组版本）

分析

这里进行了状态压缩，由于我们知道二维数组我们其实只要最后一个值（即右下角的值），所以这耗费了大量的空间，为何我们不能只用一维数组滚动记录呢？
dp[j]表示容量为j的背包中的最大质量
最大价值这里，第一个肯定是本身的价值dp[j]（其实这里相当于上一行同列的最大价值）,以及预留空间价值加物品价值dp[j-weight[i]]+value[i]取最大值。有人可能会觉得不太好理解，其实如果能理解二维数组操作的话，理解一维滚动数组应该不难。假如我第一行滚动完了，第二行初值不就是第一行的数值吗？现在就是我们不用刻意去写上一行，因为上一行和我这行是一样的，所以直接在二维的基础上去掉所有二维的行就可以了。
这里最要注意的一个应该是遍历顺序
我们稍微思考一下，二维数组在操作的时候，由于是用上一行的数据更新本行最大值，所以背包可以用正序遍历，逆序遍历，这都无所谓。但是，一维滚动数组中，背包一定需要逆序进行操作。
一维背包逆序的话，我当前背包最大价值的更新依赖于我前面的背包（由于前面背包还没有更新，所以相当于是用二维数组的上一行数据更新,符合我们刚才说的二维数组的操作）。如果是正序的话，正序背包最大值的更新依赖于前面的背包，前面的背包已经被更新过了，相当于我拿本行的数据进行更新（相当于叠加），某样物品会被重复取，不符合0,1背包！

代码

weight =[1,3,4]
value = [15,20,30] 
Max = 4 # 背包的最大容量

dp = [0]*5 # dp[j]表示背包容量为j的最大价值为dp[j]

for i in range(3):
    for j in range(4,weight[i]-1,-1):
        dp[j] = max(dp[j],dp[j-weight[i]]+value[i])
print(dp)