数学建模----层次分析法

层次分析法概念

1.什么是层次分析法

层次分析法，简称AHP，是指将与决策总是有关的元素分解成目标、准则、方案等层次，在此基础之上进行定性和定量分析的决策方法。该方法是美国运筹学家匹茨堡大学教授萨蒂于20世纪70年代初，在为美国国防部研究"根据各个工业部门对国家福利的贡献大小而进行电力分配"课题时，应用网络系统理论和多目标综合评价方法，提出的一种层次权重决策分析方法。

层次分析法是将决策问题按总目标、各层子目标、评价准则直至具体的备投方案的顺序分解为不同的层次结构，然后用求解判断矩阵特征向量的办法，求得每一层次的各元素对上一层次某元素的优先权重，最后再加权和的方法递阶归并各备择方案对总目标的最终权重，此最终权重最大者即为最优方案。
层次分析法比较适合于具有分层交错评价指标的目标系统，而且目标值又难于定量描述的决策问题。

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2.基本原理

层次分析法根据问题的性质和要达到的总目标，将问题分解为不同的组成因素，并按照因素间的相互关联影响以及隶属关系将因素按不同层次聚集组合，形成一个多层次的分析结构模型，从而最终使问题归结为最低层（供决策的方案、措施等）相对于最高层（总目标）的相对重要权值的确定或相对优劣次序的排定。

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层次分析法计算步骤

1.层次分析法基本步骤

运用层次分析法大致分为四个步骤：

• 建立层次结构模型
• 构建判断矩阵（成对矩阵）
• 层次单排序和一致性检验
• 层次总排序和一致性检验

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2.建立层次结构模型

将决策的目标、考虑的因素（决策准则）和决策对象按它们之间的相互关系分为最高层、中间层和最低层，绘出层次结构图。

• 最高层（目标层）是指决策的目的、要解决的问题。
• 最低层（方案层）是指决策时的备选方案。
• 中间层（准则层）是指考虑的因素、决策的准则。

例如：我们要购买一个水杯，有A、B、C、D四种水杯可以购买，但是至于购买那个，我们会从颜色，价格，实用性，质量四个因素考虑；其中购买一个水杯就是我们的最终目标，即最高层；A、A、B、C、D作为备选方案即为最底层；颜色，价格，实用性，质量四个因素即是中间层；

递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过 9 个。这是因为支配 的元素过多会给两两比较判断带来困难。

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3.构建判断矩阵（成对矩阵）

在确定各层次各因素间的权重时需要通过构建判断矩阵完成，构建判断矩阵采用更容易让人接受方法，Saaty等人提出的一致矩阵法，即将所有因素进行两两比较，采用相同的比较尺度，提高准确度；例如对