002算法(完)

概述

1. 算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列
2. 解决同一个问题可以有多个算法

• 特点：

1. 有穷性：算法在执行有限的步骤之后，自动结束，而不会出现无限循环
2. 确定性：算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有相同的结果
3. 可行性：算法可以转换为程序上机运行，并得到正确的结果
4. 输入输出：输入$\ge 0$、输出$\ge 1$

• 设计要求:

1. 正确性：
   （1）算法程序没有语法错误
   （2）算法程序对合法输入能够产生满足要求的输出
   （3）算法程序对非法输入能够得出满足规格说明的结果
2. 可读性：便于阅读，理解和交流
3. 健壮性：对非法输入能做出处理而不是产生异常
4. 高效性：算法程序具有尽量低的时间和空间复杂度
5. 正确性$\to$健壮性$\to$可读性$\to$高效性

时间复杂度

• 渐进分析：

1. 判断算法的时间效率，$T(n)$的常数项和次要项可以忽略不计，应关注主项(最高阶)

• 渐进增长：

1. 给定两个函数$f(n)$和$g(n)$，若存在一个整数$N$,使得对于所有的$n>N$,总有$f(n)\ge g(n)$，$f(n)$的增长渐进快于$g(n)$

• 常见时间复杂度：

1. 常数阶：$O(1)$，即与问题大小无关，执行时间恒定
2. 线性阶：$O(n)$，如循环结构
3. 对数阶：$O(lo{g}^n)$
4. 平方阶：$O(m\times n)$
5. $O(1)<O(lo{g}^n)<O(n)<O(nlo{g}^n)<O(n^2)<O(n^3)<O(2^n)<O(n!)<O(n^n)$

• 运算法则:

1. 加法规则：
$$f_1(n)+f_2(n)=O(max(f_1(n),f_2(n)))$$
2. 乘法规则：
$$f_1(n)\times f_2(n)=O(f_1(n)\times f_2(n))$$

1. 算法的时间复杂度分为平均时间复杂度和最坏时间复杂度
2. 一般情况下，时间复杂度是指最坏时间复杂度
3. 平均时间复杂度是最有意义的，表示期望的运行时间

空间复杂度

1. 空间复杂度表示算法实现所需要的的存储空间
2. 空间复杂度： $S(n)=O[f(n)]，n为问题规模$

时空权衡

1. 算法的时间复杂度和空间复杂度往往相互矛盾
2. 增大空间开销可能改善算法的时间开销
3. 节约空间往往需要增加运算时间