数学模型tricks | 纯Integer变量转化为Binary变量

数学模型tricks | 纯Integer变量转化为Binary变量

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问题

在数学规划中， 有时候会碰到纯Integer的变量，这种变量就非常头疼，求解起来也很困难。因此最近就在寻找是否有办法能够将这种纯Integer的变量转化为Binary的变量来代替，因为Binary的变量有很多有趣的用处，比如Bilinear term中的线性化。

解决方法

[1] Owen, J., Mehrotra, S.: On the value of binary expansions for general mixed-integer linear programs.Oper. Res. 50, 810–819 (2002)

[2] Zou J, Ahmed S, Sun X A. Stochastic dual dynamic integer programming[J]. Mathematical Programming, 2019, 175(1): 461-502.

Zou等的文章里面介绍了一种方法叫binary expansion（二进制展开），可以利用二进制变量对整数变量进行近似处理。

假设我们有如下Integer变量
$$\begin{gathered} 0\le z_i\le U \\ {z}_i\in Z^{+},\forall i\in I \end{gathered}$$

我们可以引入一个Binary变量$x_j$
x j ∈ { 0 , 1 } , j = 1 , 2 , 3 , . . k k ≤ d ( ⌊ l o g 2 ( U / ϵ ) ⌋ + 1 ) x_j \in \{0,1\}, j= 1,2,3,..k\\ k \leq d( \lfloor log_{2}(U/\epsilon)\rfloor + 1) xj​∈{0,1},j=1,2,3,..kk≤d(⌊log2​(U/ϵ)⌋+1)

并且令
$$z_i=\sum _j{2}^j{x}_{ij},\forall i\in I$$