【图论】POJ-2485 Highways

这段时间要沉迷刷题一段时间了，就让优快云陪我一起吧！

一、题目大意

Flatopia岛国完全是平原。不幸的是，Flatopia没有公共高速公路。因此Flatopia的交通很困难。弗拉托利亚政府意识到了这个问题。他们计划建造一些高速公路，这样就可以在不离开高速公路系统的情况下在任何一对城镇之间行驶。

Flatopian城镇的编号从1到N。每条高速公路恰好连接两个城镇，所有高速公路都是直线，都是双向的，高速公路可以自由地相互交叉，但司机只能在位于两条高速公路尽头的小镇的高速公路之间切换。

Flatopian政府希望尽量减少最长的高速公路的建设时间。但是，他们希望保证每个城镇都可以从其他城镇到达公路。

输入第一行是一个整数T，表示测试用例的个数。对于每个测试用例，第一行是一个整数N，表示Flatopia的城镇数，然后是N行，每行N个整数，表示邻接矩阵。

二、题目思路以及AC代码

这个题的题目说的还是比较明确的，要建立高速公路把所有城镇连接起来，也就是要保证连通，然而要尽量减少最长高速公路的建设时间，也就是要保证这些连通的边中权值最大的那条边最小。

可能有些人会有疑问，为什么最小生成树中最长的边就是上述要求的结果呢？这个我可以简单的帮大家梳理一下，用反证法就可以了。

假设最小生成树最长的边标记为 i，那么考虑Prim算法的执行过程，是需要不断的找与集合中的点距离最近的边，然后把终点加入集合，那当原来要加入 i 时，由于假设有一个连通图的边的最长路小于 i 的长度，那么这时就不能把 i 这条边加入进来，而会加入一条比它长度还小的路，但其余的点和边的加入顺序是不会变的，那么这就会导致原来的假设不对，原来的那个就不是最小生成树。也就可以证明，只要是最小生成树的最长边，那就一定是我们要求解的结果。

好啦，大致思路已经没什么问题了，这里给出AC代码：

#include <iostream>
#define MAXN 505
#define INF 10000000
using  namespace std;

int N;

int edges[MAXN][MAXN];
int dist[MAXN];
int vis[MAXN];

void init() {
	for (int i = 0; i < MAXN; i++) {
		for (int j = 0; j < MAXN; j++) {
			if (i == j) edges[i][j] = 0;
			else edges[i][j] = INF;
		}
		dist[i] = INF;
		vis[i] = false;
	}
}

int Max(int a, int b) {
	return a > b ? a : b;
}

int Prim() {
	for (int i = 0; i < MAXN; i++) {
		dist[i] = INF;
		vis[i] = false;
	}

	dist[1] = 0;
	int max = -INF;
	for (int i = 1; i <= N; i++) {
		int min = INF;
		int x = -1;
		for (int j = 1; j <= N; j++) {
			if (!vis[j] && dist[j] < min) {
				min = dist[x = j];
			}
		}

		if (x == -1) break;
		vis[x] = true;
		max = Max(max, min);

		for (int j = 1; j <= N; j++) {
			if (!vis[j] && dist[j] > edges[x][j]) {
				dist[j] = edges[x][j];
			}
		}
	}

	return max;
}

int main()
{
	int T;
	scanf("%d", &T);

	while (T--) {
		init();

		scanf("%d", &N);
		for (int i = 1; i <= N; i++) {
			for (int j = 1; j <= N; j++) {
				scanf("%d", &edges[i][j]);
			}
		}

		printf("%d\n", Prim());
	}

    return 0;
}

如有问题，欢迎大家指正！！