【最短路径】披着最短路径外衣的最小生成树

最新推荐文章于 2022-08-19 22:58:09 发布

Joseph_L_

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分类专栏：保研机试

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本文深入探讨了一种基于并查集的最短路径算法，利用第k条路径长度的特性，构建最小连通树同时计算0号城市到各城市的最短路径。通过实例解释了算法的实现过程，包括并查集的使用、路径更新和松弛操作。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

大致思路（via题解）：

注意到第k条路径的长度为2^K，则第k条路径的长度会大于前k-1条路径的总和。

由此我们可知两个推断：

（1）在添加第k条路径时，如果路径k连接的两个城市A 、B已经通过其他路径间接的连通了，那么第k条路径绝对不是AB间的最短路径（第k条路径之后的路径也不可能有比当前AB路径更短的路径了，因为第k条路径的长度会大于前k-1条路径的总和）

（2）在添加第k条路径时，如果路径k连接的两个城市A 、B是第一次被连通了（也就是说此前没有任何路径能连通AB，包括通过多条路径间接连通），那么路径k就是AB之间的最短距离了，因为以后不可能存在更短的路径连接AB，以后的单条路径只会越来越长。

通过上述的推断，我们可以利通过建立一个最小连通树的同时算出0号城市到各个城市的最小路径。

具体的算法：

（1）构造一个并查集，每个城市指向自己，二维数组d记录城市之间的距离，初始化为-1不可达，d[i][i]初始化为0

（2）取第一条路径，第一条路径连接了城市a、b，城市a、b间最短路径就是第一条路径，然后把a、b合并在一个集合里

（3）再取一条路径，

（一）如果这条边连接的城市c、d，已经在同一个集合里了（即已经联通了），那么当前的路径一定不是cd之间的最短路径了，忽略之（理由是推断（1）），继续看下一条路径。

(二)如果这条路径连接的城市c、d不在同一个集合里（之前没有联通过），很好，这条路径是cd之间的最短路径（理由是推断（2））；除此之外我们还可以看看通过这条路径能不能让c集合里的城市到d集合里的城市之间的路径更短呢？即是不是d[i][j]>(d[i][C]+dist+d[D][j]) ?(注意i和C一个集合，D和j一个集合)，如果是的话可以更新一下这个值。

（4）重复（3）直到所有路径都处理过了

0号城市到各个城市i的最小路径结果就是d[0][i]了

AC代码：

链接：https://www.nowcoder.com/questionTerminal/a29d0b5eb46b4b90bfa22aa98cf5ff17
来源：牛客网

#include<stdio.h>
#define N 100
int dis[N][N];
int father[N];
int FindRoot(int x){
    if(father[x]==x) return x;
    else{
        father[x]=FindRoot(father[x]);
        return Tree[x];
    }
}
int mod(int x,int y){
    int ret=1;
    while(y--){
        ret=(ret*x)%100000;
    }
    return ret;
}
int main(){
    int n,m;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF){
        int i,j,k,a,b,x,y,dist;
        for(i=0;i<n;i++){
            father[i]=-1;
            for(j=0;j<n;j++)
                dis[i][j]=-1;
            dis[i][i]=0;
        }
        for(i=0;i<m;i++){
            scanf("%d%d",&a,&b);
            x=FindRoot(a);
            y=FindRoot(b);
            if(x!=y){  //之前没有相连，那么这条边就是最短边，且以此去松弛。
                dist=mod(2,i);
                for(j=0;j<n;j++){ 
                    if(x==FindRoot(j)){
                        for(k=0;k<n;k++){ 
                            if(y==FindRoot(k)){
                                dis[j][k]=dis[k][j]=(dis[j][a]+dis[b][k]+dist)%100000;
                            }
                        } 
                    } 
                }
                father[y]=x; //相连上
            }
        }
        x=FindRoot(0);
        for(i=1;i<n;i++){
                printf("%d\n",dis[0][i]);
        }
    }
    return 0;
}