【博弈论】SG函数应用总结

这两天用比较少的学习时间（真的，自己不能再懒了，马上要国赛了！！！）学习了博弈论，其中主要是对于SG函数的应用，是解题的关键。这里用自己的语言算是对SG做一个小结吧。

小结来源：这两天写的几篇博弈论博文

初识SG——Nim堆游戏：

尼姆堆游戏（两人轮流从任一堆里拿任意数量，最后没东西可拿者输）中神奇的结论：”若每一堆数量的异或和==0，则先手必输”让我觉得很奇妙，也不知道为什么会有这样的结论产生。但是在了解SG函数之后，原来NIM堆针对每一堆来说，因为根据“SG==0则先手必输”结合题意可知数量x==0则先手必输，所以每一堆的SG就是数量x。可以把每一堆看成一个子游戏，根据定理“总游戏SG=子游戏SG异或和”，得到之前说的神奇的结论。

观摩SG——巴什博弈和威佐夫博弈：

巴什博弈：只有一堆物品，数量为n，两人轮流从中取，一次最少取1个最多取m个，最后没东西可取者输。

SG=n%(m+1) 就一堆物品不需要异或和

威佐夫博弈：有两堆物品，两人轮流从中要么在一堆里取，要么在两堆里同时取相同数量，最少取1个，最后没东西可取者输。

这个是需要记公式

(a,b)成为奇异局势，即“先手必输”的局势。

令k=b-a (a,b是两堆物品数量，前提b>a，不然先交换），令参数wzf=(1+根号5)/2

a1=wzf*k ;  b1=wzf*wzf*k ;

看看是否a==a1&&b==b1，若是，则是奇异局势，先手必输。

了解SG——有向无环图 下棋游戏

根据SG函数的定义：SG(x)=mex{SG(y)| y为x的后续} ，这个后续很有意思，是需要题意来看，当前x按题意操作之后，能变成的数即为后续Y。所以，根据下棋游戏规则（这个点没有出度了就无路可走，输了），可以知道对于每个点来说，SG==出度。也符合SG==0先手必输。那么是不是觉得很像NIM堆游戏呢？ABSOLUTELY RIGHT！可以类比：每个点相当于每一堆，那么看看初始的时候棋都放在哪些点上，然后把这些点的SG值求异或和就得到总游戏的SG值了。总SG==0则先手必输。

应用SG方法

打表或递归 （见https://blog.youkuaiyun.com/m0_38033475/article/details/80272171）

灵活地用SG解题 

我觉得其实只要：记住SG==0先手必输，SG(x)=mex{SG(y)| y为x的后续} ，结合题意即可！

一般来说，如果这个游戏是可以拆分成子游戏的，那么我们就拆分，主要是先对子游戏进行分析（最后求异或和即可）。首先是要结合题意找到让SG==0的这种情况，由此知道SG可以由什么值代替或哪个值和哪个值呈什么关系的时候SG==0。然后再根据SG(x)=mex{SG(y)| y为x的后续} 来根据后续情况倒推之前情况的SG值！然后可以找找规律，用打表或者递归就把SG值求出来，最后求异或和就知道了。

比如说这道题（https://blog.youkuaiyun.com/m0_38033475/article/details/80281556），就是根据列写每个情况的SG值，找了一下规律就把题做出来了。注意这道题只有一个游戏（无法拆分），所以也没有求异或和的最后步骤，所以也不需要sg值数组或者返回sg值了，getsg函数返回值完全就可以只返回布尔值（sg==0则false）。

而蒜头君的新游戏这道题，也是列写每个情况的SG值，而其中的关键在于，你在找“后续操作”是要牢牢结合题意所给操作的！一般来说找到sg值==0的所有情况，就能根据性质求出所有情况的sg值啦！