从线性代数想到的

最近看到一道题目:

集合{1，2,...,n}的一些非空子集A1,A2,...,Am满足任意两个子集的交集的元素个数为偶数，问m最大值是多少？

刚看到这道题，感觉如果从组合的角度入手比较困难。当时感觉这种题目和线性代数的风格有点像，就是有好多子集，可以把它们看成一些向量。然后它们之间有一些约束，仔细揣摩，发现真的可以用线性代数做！

我们把每个子集表示成一个n维的行向量，如果i在这个集合中，那么该向量第i个数就为1，否则为0.把这m个行向量从上到下排成一个矩阵。把这个矩阵看成域F2上的矩阵. 由于每两个子集的交集元素个数为偶数，那么每两个不同的行向量之间作内积，结果就为0. 再由于子集均非空，说明这m个行向量之间是两两正交的，从而它们肯定是线性无关的。

那么行秩=m=列秩<=n.

显然{1}，{2}，...,{n}这n个子集符合要求。从而m的最大值为n.

类似的有一道题目：A={1，2，...,n}的n+1个非空子集A[1],...,A[n+1].证明：存在{1，2，...,n+1}的两个不交的非空子集S={i1,...,ik}和T={j1,...,jm}满足:上述子集中以S为下标的所有子集的并集等于以T为下标的所有子集的并集。

同样像上面，我们可以建立一个n+1行，n列的矩阵.这n+1个行向量(不妨设为a[1],...,a[n+1])肯定是线性相关的.从而我们可以找到n+1个不全为0的数x[1],...,x[n+1],(这里看成有理数域)

st:  x[1]*a[1]+.....+x[n+1]*a[n+1]=0;

把上述项中x[i]中正的放左边，负的放右边变成正的系数，得到：

(...)*a[i1]+(...)*a[i2]+....+(...)*a[ik]=(...)*a[j1]+......+(...)*a[jm].   （*）

其中（...)表示一些正的系数.

下面说明上面的S={i1,...,ik}和T={j1,...,jm}就满足要求.

首先每一个向量至少有一维是1，所以不可能x[i]全为正或负，从而上面两个集合均非空,且显然它们交集非空.

对于每一个在   以S为下标的子集的并集  中的元素i，上述(*)式左边的第i维大于0，从而右边第i维也大于0，从而

i必定也在   以T为下标的子集的并集中，反之亦然，两个并集相等。