lintcode(13)——N皇后问题

33. N皇后问题

n皇后问题是将n个皇后放置在n*n的棋盘上，皇后彼此之间不能相互攻击。

给定一个整数n，返回所有不同的n皇后问题的解决方案。

每个解决方案包含一个明确的n皇后放置布局，其中“Q”和“.”分别表示一个女王和一个空位置。

例1:

输入:1
输出:
   [["Q"]]

例2:

输入:4
输出:
[
  // Solution 1
  [".Q..",
   "...Q",
   "Q...",
   "..Q."
  ],
  // Solution 2
  ["..Q.",
   "Q...",
   "...Q",
   ".Q.."
  ]
]

挑战

你能否不使用递归完成？

解题思路：

在n*n的矩阵中，n个皇后分别在0~n-1行，也就是说，第i个皇后在第i行是固定的，但是在第多少列？用到回溯法进行解决。

对第i个皇后，依次考虑0 - n-1列的位置是否合法，若在第k列的位置合法，则再考虑下一个皇后的位置。当i==n的时候并且起位置合法，则保存路径上的各个皇后位置。

如何判断其位置是合法的？

1.暴力，定义矩阵，对新来的点看是否有和它在相同的行，列，对角线

2.定义一个保存所在列的矩阵colVals，其下标就是所在的行，colVals[i]的值就是所在的列值。

显然 不会相同了，只需再考虑列，对角线<正对角线，负对角线>

列值相同：colVals[i] = colVals[row]  ->也就是在相同的列

对角线的时候，可以发现这样的规律：|row - i| = |colVals[row] - colVals[i]| 这里要考虑绝对值，有两种情况的。

其他情况都是合法的。

class Solution {
public:
    vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
        // write your code here
        vector<vector<string> > result;
        if( n <= 0 )
        {
            return result;
        }
        vector<int> cols;
        search(n, cols,result);
        return result;
    }
    
    void search(int n, vector<int> &cols,vector<vector<string>> &result)
    {
        if(cols.size() == n)
        {
            result.push_back(drawResult(cols, n));
            return;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(!isValid(i,cols))
            {
                continue;
            }
            cols.push_back(i);
            search(n,cols,result);
            cols.pop_back();
        }
        
    }
    bool isValid(int col,vector<int> &cols)
    {
        int row=cols.size();
        for(int i = 0; i < row; ++i)
        {
        if(cols[i] == col)
            {
                return false;
            }
            if(i - cols[i] == row - col)
            {
                return false;
            }
            if(i + cols[i] == row + col)
            {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    vector<string> drawResult(vector<int> &cols, int n)
    {
        vector<string> result;
        for(int i = 0; i < cols.size(); ++i)
        {
            string temp(n, '.');
            temp[cols[i]] = 'Q';
            result.push_back(temp);
        }
        return result;
    }   
   
};

class Solution {
public:
    vector<vector<string> > solveNQueens(int n) {
        // write your code here
        vector<vector<string>> result;
        if( n <= 0 )
        {
            return result;
        }
        vector<int> cols(n);
        search(n, 0,cols,result);
        return result;
    }
    void search(int n, int row,vector<int> &cols,vector<vector<string>> &result)
    {
        if(row == n)
        {
            result.push_back(drawResult(cols, n));
            return;
        }
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(!isValid(row,i,cols))
            {
                continue;
            }
            cols[row]=i;
            search(n,row+1,cols,result);
        }
        
    }
    bool isValid(int row,int col,vector<int> &cols)
    {
        for(int i = 0; i < row; ++i)
        {
            if(cols[i] == col)
            {
                return false;
            }
            if(i - cols[i] == row - col)
            {
                return false;
            }
            if(i + cols[i] == row + col)
            {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    vector<string> drawResult(vector<int> &cols, int n)
    {
        vector<string> result;
        for(int i = 0; i < cols.size(); ++i)
        {
            string temp(n, '.');
            temp[cols[i]] = 'Q';
            result.push_back(temp);
        }
        return result;
    } 
};

34. N皇后问题 II

根据n皇后问题，现在返回n皇后不同的解决方案的数量而不是具体的放置布局。

例1:

输入: n=1
输出: 1
解释:
1:
1

例2:

输入: n=4
输出: 2
解释:
1:
0 0 1 0
1 0 0 0
0 0 0 1
0 1 0 0
2:
0 1 0 0 
0 0 0 1
1 0 0 0
0 0 1 0

class Solution {
public:
    int sum;
    bool canPut(int row, int col, vector<int> &cols) {
        for (int i = 0; i < row; i++) {
            if (cols[i] - i == col - row) {
                return false;
            }
            if (cols[i] + i == col + row) {
                return false;
            }
            if (cols[i] == col) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    
    void dfs(int n, int k, vector<int> &cols) {
        if (k == n) {
            sum++;
            return;
        }
        
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            if (!canPut(k, i, cols)) {
                continue;
            }
            cols[k] = i;
            dfs(n, k + 1, cols);
        }
    }
    
    int totalNQueens(int n) {
        vector<int> cols(n);
        
        sum = 0;
        dfs(n, 0, cols);
        return sum;
    }
};