机器学习的数学基础（叁）

最新推荐文章于 2023-04-09 13:43:21 发布

冈仁波齐下写一串优美的代码

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分类专栏：机器学习

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1 最小二乘法（Least Square Fitting）

最小二乘法则是一种统计学习优化技术，它的目标是最小化误差平方之和来作为目标，从而找到最优模型，这个模型可以拟合（fit）观察数据。
回归学习最常用的损失函数是平方损失函数，在此情况下，回归问题可以用著名的最小二乘法来解决。最小二乘法就是曲线拟合的一种解决方法。
来自https://blog.youkuaiyun.com/iterate7/article/details/78992015

$J(\theta)= \sum_{i=1}^{m} (f_\theta(x_{i})-y_{i})^2$

矩阵求导方法
$(X^T X)\theta = X^Ty$
$\theta = (X^T X)^{-1}X^Ty$

推导https://blog.youkuaiyun.com/ACdreamers/article/details/44662633

数值方法牛顿法
$x^{k+1}=x^{k}-H^{-1}_kg_{k}$

推导https://blog.youkuaiyun.com/iterate7/article/details/78387326

梯度下降
$\theta_j:=\theta_j - \alpha* \frac{\partial J(\theta)}{\partial(\theta_j)}$
如果被分析的函数是线性的，在线性回归中，我们假设损失函数形式是 $J(\theta)=\frac{1}{2N}\sum_1^n(h_\theta(x)^{(i)}-y^{(i)})^2$ 并且 $h(x)=\theta_1 x_1+\theta_0$ ,则：
$\theta_0 \leftarrow \theta_0 -\alpha* \frac{\partial J(\theta_1,\theta_0)}{\partial(\theta_0)} ，\alpha>0$
$\theta_1 \leftarrow \theta_1 -\alpha* \frac{\partial J(\theta_1,\theta_0)}{\partial(\theta_1)} ，\alpha>0$
$\alpha$ 是学习速率， $\frac{\partial J(\theta_1,\theta_0)}{\partial(\theta_1)}=\frac{1}{N}\sum_1^n(h(x)^{(i)}-y^{(i)})x_1^{(i)}$ , $\frac{\partial J(\theta_1,\theta_0)}{\partial(\theta_0)}=\frac{1}{N}\sum_1^n(h(x)^{(i)}-y^{(i)})$ 如果 $h(x)=\theta^Tx$ ,则梯度下降更新公式变为：
$\theta_j:=\theta_j - \alpha* \frac{\partial J(\theta)}{\partial(\theta_j)}$
$...=\theta_j - \alpha* \frac{1}{N}\sum_1^n(h(x)^{(i)}-y^{(i)})x_j^{(i)},x,\theta\in R^{n+1}$
上式对 $\theta_0$ 来说, $x_0$ =1。一开始 $\theta$ 是随机给定。

2 归一化（Feature Scaling）

可以让一些优化方法收敛速度更快，数据标准化（归一化）处理是数据挖掘的一项基础工作，不同评价指标往往具有不同的量纲和量纲单位，这样的情况会影响到数据分析的结果，为了消除指标之间的量纲影响，需要进行数据标准化处理，以解决数据指标之间的可比性。原始数据经过数据标准化处理后，各指标处于同一数量级，适合进行综合对比评价。以下是两种常用的归一化方法：

标准归一化(Standardization)
又称Z-score normalization。 $z=\frac{z-\mu}{\delta}$ , $\mu$ 是特征均值, $\delta$ 是特征标准差。区间范围[-1,1].
最大最小归一化（Min-Max Scaling)
$x=\frac{x-min(x)}{max(x)-min(x)}$ ,分布区间为[0,1]。
编程实现（python）

def standardize(X):
    """特征标准化处理
    Args:
        X: 样本集
    Returns:
        标准后的样本集
    """
    m, n = X.shape
    # 归一化每一个特征
    for j in range(n):
        features = X[:,j]
        meanVal = features.mean(axis=0)
        std = features.std(axis=0)
        if std != 0:
            X[:, j] = (features-meanVal)/std
        else
            X[:, j] = 0
    return X
 
def normalize(X):
    """Min-Max normalization     sklearn.preprocess 的MaxMinScalar
    Args:
        X: 样本集
    Returns:
        归一化后的样本集
    """
    m, n = X.shape
    # 归一化每一个特征
    for j in range(n):
        features = X[:,j]
        minVal = features.min(axis=0)
        maxVal = features.max(axis=0)
        diff = maxVal - minVal
        if diff != 0:
           X[:,j] = (features-minVal)/diff
        else:
           X[:,j] = 0
    return X

3 奥卡姆剃刀原则

奥卡姆剃刀定律（Occam’s Razor, Ockham’s Razor）又称“奥康的剃刀”,原理称为“如无必要，勿增实体”，即“简单有效原理”。
原理具体内容为：1.避重趋轻 2.避繁逐简 3.以简御繁 4.避虚就实

剃刀原则从来没有说简单的理论就是正确的理论，通常表述为“当两个假说具有完全相同的解释力和预测力时，我们以那个较为简单的假说作为讨论依据。”（科学松鼠会）
剃刀原则不是一个理论而是一个原理，它的目的是为了精简抽象实体。它不能被证明也不能被证伪，因为它是一个规范性的思考原则。大部分情况下，应用奥卡姆剃刀原理是合适的；但是这不代表奥卡姆剃刀就是正确的。（知乎）

总结一下，剃刀原则并不是一种定理（在数学上有推导，数学之美——刘未鹏），而是一种思维方式，可用于指导我们的工作，比如我们可以用A和B达到同样的效果，但B更简单，于是我们选择B。同时，也有人说可能因为能力不足，于是我们选择更简单的方式来处理问题，这也是剃刀的原则的一种应用吧。举个贴切的例子，做决策树分析的时候，采用9个属性的预测性能和5个属性的预测性能是相似的，那么我们就会选择5个属性来预测。
来源https://blog.youkuaiyun.com/david_jett/article/details/77714796