PythonTip--8.2

大幂次运算

题目描述：
给你两个正整数a(0 < a < 100000)和n(0 <= n <=100000000000)，计算(a^n) %
20132013并输出结果

思路：
第一个就是直接使用Python内置库里面的pow（）函数，专门就是用来处理这个问题的。
第二个就是使用了一个公式：

将幂次分为两种情况，若为偶数则可以将幂次提取一个2出来，放入数a中，这样就可以减小幂次。如果是奇数的话，就先提一个a出来这样b就是偶数了，再执行同样的操作。

至于减小幂次是否能够简化运算，可以找一个例子：
2^31若正常运算需要执行30次2的相乘。
使用第二种方法：2^15*2^16
==> 2^7*2^8*2^8*2^8
==> 2^3*2^4*2^4*2^4*2^4*2^4*2^4*2^4*
==>…….
很明显，这样算的话，有很多运算是重复的，可以简化操作。
于是下面贴代码：

a=85265
n=10000256625323
from time import clock
def func(a,n):
    return pow(a,n,20132013)
begin = clock()
print(func(a,n))
finish = clock()
print(finish-begin)

# 优化后的代码
def func2(a,n):
    ans = 1
    while n:
        if n%2 ==1:
            ans = (ans * a)%20132013
        n //=2
        a = a*a%20132013
    return ans
begin = clock()
print(func2(a,n))
finish = clock()
print(finish-begin)

使用了python的time.clock（）函数来计算时间：

6434294
2.8049393797291378e-05
6434294
1.9358032338975736e-05

计算结果都是一样的，可是时间相差了将近1/3。

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密码生成

题目描述： 生活在当代社会，我们要记住很多密码，银行卡，qq，人人，微博，邮箱等等。小P经过一番思索之后，发明了下面这种生成密码方法：
给定两个正整数a和b, 利用a / b我们会到的一个长度无限的小数(若a / b不是无限小数，
比如1/2=0.5,我们认为0.5是0.5000000…，同样将其看做无限长的小数），小P将该小数点后第x位到第y位的数字
当做密码，这样，无论密码有多长，小P只要记住a,b,x,y四个数字就可以了，牢记密码再也不是那么困难的事情了。 现在告诉你a,b,x,y（0
< a,b <= 20132013, 0 < x <= y < 100000000000),请你输出密码。 例如：a = 1, b = 2,
x = 1, y = 4, 则 a / b = 0.5000000…, 输出小数点后第1到4位数字，即5000

思路：
这道题用了模拟除法运算，具体的运算在代码中有备注。

代码：

a,b,x,y = 1,3,1,4
def func(a,b,x,y):
    '''模拟除法'''
    # 使a<b
    a = a%b
    # 最后输出
    result = ''
    # 除的过程中若有重复的就可以直接取结果
    history = {}
    size = y
    while len(result) < y:
        # 若被除数为0，则所有的商都为0，所以要在后面补0
        if a == 0:
            result = result + '0'*(size-len(result))
            break
        # 若被除数已经被除过了，说明经过中间那么多次的运算又重复了，则可以直接取商
        if a in history:
            # 字典中的值是被除数取商的第一个位置
            remain = result[history[a]:]
            # 只要位数不够，都可以直接补
            while len(result)<y:
                result+=remain
            # 去除位数多的
            result=result[:y]
            break
        #  将当前被除数加入字典，值为商在result的索引
        history[a]=len(result)
        a*=10
        while a<b:
            #乘一次10，补一个0
            a*=10
            result +='0'
        #  商
        temp = a//b
        result+=str(temp)
        # 取余，循环
        a %=b
    return result[x-1:y]
print(func(a,b,x,y))

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最大连续子序列

题目描述：
给你一个整数list L, 如 L=[2,-3,3,50], 求L的一个连续子序列，使其和最大，输出最大子序列的和。

思路：
方法1：最简单了，就是遍历所有序列中的所有可能，然后找到最大的一个。
代码也就一行就可以搞定。使用了三重循环，两个for循环在外层，然后里面又用了一个sum，最后使用max找出最大的。

代码1：

def func1(L):
    return max([sum(L[i:j]) for i in range(len(L)) for j in range(len(L)+1) if i<j])

方法2： 这就比上面的方法要好一点了。只需要2层循环，第一层for循环遍历开始位置，第二层是用来求和，只要当前的和大于最大和时就进行替换。

代码2：

def func2(L):
    max_ = 0
    for i in range(len(L)):
        sum_ = 0
        for j in range(i,len(L)):
            sum_+=L[j]
            if max_<sum_:
                max_ = sum_
    return max_

方法3： 这个应该是最优的了。只用了一层循环，因为在序列中，若开始元素是负数，那么这个负数肯定不会是最大子序列的开始，和加上负数只会变小，那还不如不加这个负数大呢。所以只要拓展下，序列开始的一段和如果是负数，那么肯定不会是最大子序列。因此如果小于0就可以去掉，重新计数。

代码3：

def func3(L):
    max_ = 0
    sum_ = 0
    for i in range(len(L)):
        sum_+=L[i]
        if sum_>max_:
            max_ = sum_
        elif sum_<0:
            sum_ = 0
    return max_

同样用time.clock（）进行计时，序列使用L=[2,-3,3,50,23,-5,4]

76
func1: 4.622224048286044e-05
76
func2: 1.5407413494286808e-05
76
func3: 7.111113920440064e-06

很明显，func3是用时最短的，如果序列长一点的话应该差异会更明显。