【题解】Codeforces1209E2 Rotate Columns (hard version) 状压DP

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参考官方题解，xzyxzy?_?的题解
T(40)组数据，给定n(12)*m(2000)的数字矩阵(1e5)，可以任意旋转每一列，然后从每行选择一个值，使得和最大。

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做法是DP：

1. 状态表示：$dp[i][j]，i表示前i列，j表示每行是否已经被确定值的mask，dp[i][j]表示当前最大值。$
2. 状态转移： d p [ i ] [ j ] = m a x { d p [ i − 1 ] [ k ] + c a l ( i , j − k ) } ， 其 中 k 是 j 的 子 集 dp[i][j] = max\{dp[i-1][k] + cal(i,j-k)\}，其中k是j的子集 dp[i][j]=max{dp[i−1][k]+cal(i,j−k)}，其中k是j的子集，cal(i,x)表示选择第i列的一个旋转，填充集合x对应的最大值。
3. 状态边界：$dp[0][0]=0$
4. 复杂度：单组$O(m\ast 3^n\ast n^2)$，m表示列数，$3^n$表示枚举集合以及子集，$n^2$表示旋转列以及填充列的花费。

关于子集的子集个数之和为3^n的证明：
来自@Rhodoks
设i,j分别表示一个mask，j是i的子集当且仅当所有的n位都满足以下任一条件：

1. 属于i，属于j
2. 属于i，不属于j
3. 不属于i，不属于j

对于长为n的集合，总有$3^n$个(i,j)对满足上述条件，即集合的子集的子集个数是$3^n$

此时有两个复杂度优化：

1. 最多只会有n列的值产生效果，所以根本不需要把m列全部dp完成。可以按最大值对列排序，然后只选最大的n列进行dp。
   此时单组复杂度$O(3^n\ast n^3)$，$40\ast 3^{12}\ast 12^3=3.6e10$
2. 可以花费$O(n^3\ast 2^n)$预处理出所有cal函数的值，三个n分别是：列数、枚举旋转、尝试填充。然后在转移过程中直接使用处理好的cal值，转移复杂度$O(n\ast 3^n)$，单组总复杂度$O(n\ast 3^n+n^3\ast 2^n)$，$40\ast (12\ast 3^{12}+12^3\ast 2^{12})=5e8$

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学到的：

1. n个元素的集合，子集的子集个数之和是$3^n$。
2. 状压DP得到了练习。

/* LittleFall : Hello! */
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; using ll = long long; inline int read();

int save[32][2048], n, m;
vector<int> get_cols() //获得候选列
{
	for(int j=1; j<=m; ++j)
	{
		save[0][j] = 0;
		for(int i=1; i<=n; ++i)
			save[0][j] = max(save[0][j], save[i][j]);
	}
	vector<int> cols;
	for(int j=1; j<=m; ++j)
		cols.push_back(j);
	sort(cols.begin(), cols.end(), [](int a,int b){
		return save[0][a]>save[0][b];
	});
	cols.resize(min(n,m));
	return cols;
}
int cal_table[16][4096]; //cal_table[i][j]表示第i个候选列填满j的最大值
int cal(int c, int x) //选择第c列的一个旋转，获得填满x的最大值
{
	int ans = 0;
	for(int i=1; i<=n; ++i) //枚举列起点
	{
		int tmp = 0;
		for(int j=0; j<n; ++j) //列偏移
			if(x>>j&1)
				tmp += save[i+j][c];
		ans = max(ans, tmp);
	}
	return ans;
}
int dp[16][4096];
vector<int> sub[4096];
int main(void)
{
	#ifdef _LITTLEFALL_
	freopen("in.txt","r",stdin);
    #endif

	//预处理每个集合的子集
	for(int i=0; i<4096; ++i)
		for(int j=0; j<=i; ++j) if((i|j)==i)
			sub[i].push_back(j);

	int T = read();
	while(T--)
	{
		n = read(), m = read();
		for(int i=1; i<=n; ++i)
			for(int j=1; j<=m; ++j)
				save[i][j] = read();
		vector<int> cols = get_cols(); 
		m = min(n,m);
		for(int c:cols) //扩展长度
			for(int i=1; i<=n; ++i)
				save[i+n][c] = save[i][c];

		for(int i=1; i<=m; ++i) //预处理所有cal值
			for(int x=0; x<(1<<n); ++x)
				cal_table[i][x] = cal(cols[i-1], x);

		//dp
		for(int i=1; i<=m; ++i)
		for(int j=0; j<(1<<n); ++j)
		{
			dp[i][j] = 0;
			for(int k:sub[j])
				dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i-1][k]+cal_table[i][j-k]);
		}

		printf("%d\n",dp[m][(1<<n)-1] );
	}

    return 0;
}


inline int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}