动态规划 最长公共子序列LCS

本文详细解释了求解最长公共子序列问题的状态转移方程,通过实例演示如何利用动态规划算法来解决这一问题,并提供了完整的C++实现代码。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

状态转移方程如下:


刚开始完全不理解当xi!=yj时,为什么Cij要等于疑问

以s1作为标准,当前已经s1下标为i(即i不变,j在变化),匹配时s2的j是依次递增的,那么当s1i!=s2j时,那么此时Cij的值就是C[i,j-1]的值

以s2作为标准,当前已经s2下标为j(即j不变,i在变化),匹配时s1的i是依次递增的,那么当s1i!=s2j时,那么此时Cij的值就是C[i-1,j]的值

正因为Cij可视为以上两种不同标准的匹配,所以Cij就取其中最大那个值作为Cij


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#include<stdio.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
char s1[100],s2[100];
int maxlen[100][100];//用来保存每个状态的最长公共子序列长度
int flag[100][100];//用来记录路径,方便输出最长公共子序列
void LCS()
{
    int i,j,k,len1,len2;
    len1=strlen(s1);
    len2=strlen(s2);
    for(i=0; i<=len1; i++)//当i=0或者j=0时,maxlen赋为0
        maxlen[i][0]=0;
    for(i=0; i<=len2; i++)
        maxlen[0][i]=0;

    memset(flag,0,sizeof(flag));
    for(i=1; i<=len1; i++)
    {
        for(j=1; j<=len2; j++)
        {
            if(s1[i-1]==s2[j-1])//注意数组下标,amxlen矩阵起始位置为(1,1),而s1,s2数组起始位置为0
            {
                maxlen[i][j]=maxlen[i-1][j-1]+1;
                flag[i][j]=1;//说明这个位置上s1[i]==s2[j],也可以说是这个值从斜上方而来
            }
            else
            {
                if(maxlen[i-1][j]>=maxlen[i][j-1])
                {
                    maxlen[i][j]=maxlen[i-1][j];
                    flag[i][j]=2;//这个值从“上”方而来
                }
            }
            else
            {
                maxlen[i][j]=maxlen[i][j-1];
                flag[i][j]=3;//这个值从“左边”而来
            }
        }
    }
}

/*for(i=1; i<=len1; i++)
{
    for(j=1; j<=len2; j++)
    {
        printf("%d ",flag[i][j]);
    }
    printf("\n");
}
用来查看flag矩阵
*/


}
void getLCS()
{
    int i,j,k,len1,len2;
    i=strlen(s1);
    j=strlen(s2);
    char ans[100];
    k=0;
    while(i>0&&j>0)
    {
        if(flag[i][j]==1)
        {
            ans[k++]=s1[i-1];//注意数组下标,flag矩阵起始位置为(1,1),而s1,s2数组起始位置为0
            i--;
            j--;
        }
        else if(flag[i][j]==2)i--;
        else j--;
    //实际上就是在寻找flag为'1'的位置,并将那个位置上的s1(或者s2,因为当flag==1时,s1[i]==s2[j])存入结果数组中
    }
    for(j=k-1; j>=0; j--)//倒着输出lcs,因为我们是从尾向头开始找lcs子序列的
        printf("%c",ans[j]);
    printf("\n");
}


int main()
{
    int len1,len2,i,j;
    while(scanf("%s%s",s1,s2)!=EOF)
    {
        LCS();
        printf("%d\n",maxlen[strlen(s1)][strlen(s2)]);
        getLCS();
    }


    return 0;
}
/*
13456778
357486782

abcbdab
bdcaba
*/


flag矩阵里面那个方向,就是下面这个图的意思(借用上面大佬博文的图):


”斜上方“即是当前s1i==s2j,maxlen{i,j}=maxlen[i-1,j-1]+1;

”左方“即是当前最大值来自左边,maxlen{i,j}=maxlen[i,j-1];
上方“即是当前最大值来自上方,maxlen{i,j}=maxlen[i-1,j];

1. 用户与身体信息管理模块 用户信息管理: 注册登录:支持手机号 / 邮箱注册,密码加密存储,提供第三方快捷登录(模拟) 个人资料:记录基本信息(姓名、年龄、性别、身高、体重、职业) 健康目标:用户设置目标(如 “减重 5kg”“增肌”“维持健康”)及期望周期 身体状态跟踪: 体重记录:定期录入体重数据,生成体重变化曲线(折线图) 身体指标:记录 BMI(自动计算)、体脂率(可选)、基础代谢率(根据身高体重估算) 健康状况:用户可填写特殊情况(如糖尿病、过敏食物、素食偏好),系统据此调整推荐 2. 膳食记录与食物数据库模块 食物数据库: 基础信息:包含常见食物(如米饭、鸡蛋、牛肉)的名称、类别(主食 / 肉类 / 蔬菜等)、每份重量 营养成分:记录每 100g 食物的热量(kcal)、蛋白质、脂肪、碳水化合物、维生素、矿物质含量 数据库维护:管理员可添加新食物、更新营养数据,支持按名称 / 类别检索 膳食记录功能: 快速记录:用户选择食物、输入食用量(克 / 份),系统自动计算摄入的营养成分 餐次分类:按早餐 / 午餐 / 晚餐 / 加餐分类记录,支持上传餐食照片(可选) 批量操作:提供常见套餐模板(如 “三明治 + 牛奶”),一键添加到记录 历史记录:按日期查看过往膳食记录,支持编辑 / 删除错误记录 3. 营养分析模块 每日营养摄入分析: 核心指标计算:统计当日摄入的总热量、蛋白质 / 脂肪 / 碳水化合物占比(按每日推荐量对比) 微量营养素分析:检查维生素(如维生素 C、钙、铁)的摄入是否达标 平衡评估:生成 “营养平衡度” 评分(0-100 分),指出摄入过剩或不足的营养素 趋势分析: 周 / 月营养趋势:用折线图展示近 7 天 / 30 天的热量、三大营养素摄入变化 对比分析:将实际摄入与推荐量对比(如 “蛋白质摄入仅达到推荐量的 70%”) 目标达成率:针对健
1. 用户管理模块 用户注册与认证: 注册:用户填写身份信息(姓名、身份证号、手机号)、设置登录密码(需符合复杂度要求),系统生成唯一客户号 登录:支持账号(客户号 / 手机号)+ 密码登录,提供验证码登录、忘记密码(通过手机验证码重置)功能 身份验证:注册后需完成实名认证(模拟上传身份证照片,系统标记认证状态) 个人信息管理: 基本信息:查看 / 修改联系地址、紧急联系人、邮箱等非核心信息(身份证号等关键信息不可修改) 安全设置:修改登录密码、设置交易密码(用于转账等敏感操作)、开启 / 关闭登录提醒 权限控制:普通用户仅能操作本人账户;管理员可管理用户信息、查看系统统计数据 2. 账户与资金管理模块 账户管理: 账户创建:用户可开通储蓄卡账户(默认 1 个主账户,支持最多 3 个子账户,如 “日常消费账户”“储蓄账户”) 账户查询:查看各账户余额、开户日期、状态(正常 / 冻结)、交易限额 账户操作:挂失 / 解挂账户、申请注销账户(需余额为 0) 资金操作: 转账汇款:支持同行转账(输入对方账户号 / 手机号),需验证交易密码,可添加常用收款人 存款 / 取款:模拟存款(输入金额增加余额)、取款(输入金额减少余额,需不超过可用余额) 交易记录:按时间、类型(转入 / 转出 / 存款 / 取款)查询明细,显示交易时间、金额、对方账户(脱敏显示)、交易状态 3. 账单与支付模块 账单管理: 月度账单:自动生成每月收支明细,统计总收入、总支出、余额变动 账单查询:按月份、交易类型筛选账单,支持导出为 Excel 格式 还款提醒:若有贷款(简化版可模拟),系统在还款日 3 天前发送提醒 快捷支付: 绑定支付方式:添加银行卡(系统内账户)作为支付渠道 模拟消费:支持输入商户名称和金额,完成支付(从账户余额扣减) 支付记录:保存所有消费记录,包含商户、时间、金额、支付状态 4.
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