动态规划 最长公共子序列LCS

状态转移方程如下：

刚开始完全不理解当xi！=yj时，为什么Cij要等于

以s1作为标准，当前已经s1下标为i（即i不变，j在变化），匹配时s2的j是依次递增的，那么当s1i！=s2j时，那么此时Cij的值就是C[i,j-1]的值

以s2作为标准，当前已经s2下标为j（即j不变，i在变化），匹配时s1的i是依次递增的，那么当s1i！=s2j时，那么此时Cij的值就是C[i-1,j]的值

正因为Cij可视为以上两种不同标准的匹配，所以Cij就取其中最大那个值作为Cij

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#include<stdio.h>
#include<string>
#include<string.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
char s1[100],s2[100];
int maxlen[100][100];//用来保存每个状态的最长公共子序列长度
int flag[100][100];//用来记录路径，方便输出最长公共子序列
void LCS()
{
    int i,j,k,len1,len2;
    len1=strlen(s1);
    len2=strlen(s2);
    for(i=0; i<=len1; i++)//当i=0或者j=0时，maxlen赋为0
        maxlen[i][0]=0;
    for(i=0; i<=len2; i++)
        maxlen[0][i]=0;

    memset(flag,0,sizeof(flag));
    for(i=1; i<=len1; i++)
    {
        for(j=1; j<=len2; j++)
        {
            if(s1[i-1]==s2[j-1])//注意数组下标，amxlen矩阵起始位置为(1,1)，而s1，s2数组起始位置为0
            {
                maxlen[i][j]=maxlen[i-1][j-1]+1;
                flag[i][j]=1;//说明这个位置上s1[i]==s2[j],也可以说是这个值从斜上方而来
            }
            else
            {
                if(maxlen[i-1][j]>=maxlen[i][j-1])
                {
                    maxlen[i][j]=maxlen[i-1][j];
                    flag[i][j]=2;//这个值从“上”方而来
                }
            }
            else
            {
                maxlen[i][j]=maxlen[i][j-1];
                flag[i][j]=3;//这个值从“左边”而来
            }
        }
    }
}

/*for(i=1; i<=len1; i++)
{
    for(j=1; j<=len2; j++)
    {
        printf("%d ",flag[i][j]);
    }
    printf("\n");
}
用来查看flag矩阵
*/


}
void getLCS()
{
    int i,j,k,len1,len2;
    i=strlen(s1);
    j=strlen(s2);
    char ans[100];
    k=0;
    while(i>0&&j>0)
    {
        if(flag[i][j]==1)
        {
            ans[k++]=s1[i-1];//注意数组下标，flag矩阵起始位置为(1,1)，而s1，s2数组起始位置为0
            i--;
            j--;
        }
        else if(flag[i][j]==2)i--;
        else j--;
    //实际上就是在寻找flag为'1'的位置，并将那个位置上的s1(或者s2，因为当flag==1时，s1[i]==s2[j])存入结果数组中
    }
    for(j=k-1; j>=0; j--)//倒着输出lcs，因为我们是从尾向头开始找lcs子序列的
        printf("%c",ans[j]);
    printf("\n");
}


int main()
{
    int len1,len2,i,j;
    while(scanf("%s%s",s1,s2)!=EOF)
    {
        LCS();
        printf("%d\n",maxlen[strlen(s1)][strlen(s2)]);
        getLCS();
    }


    return 0;
}
/*
13456778
357486782

abcbdab
bdcaba
*/

flag矩阵里面那个方向，就是下面这个图的意思(借用上面大佬博文的图)：

”斜上方“即是当前s1i==s2j，maxlen{i,j}=maxlen[i-1,j-1]+1;

”左方“即是当前最大值来自左边，maxlen{i,j}=maxlen[i,j-1];
上方“即是当前最大值来自上方，maxlen{i,j}=maxlen[i-1,j];