八皇后问题 - 洛谷P1219

本文介绍了一个寻找跳棋布局解的算法。该算法采用深度优先搜索策略,并通过优化减少了不必要的重复检查,提高了效率。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目描述

检查一个如下的6 x 6的跳棋棋盘,有六个棋子被放置在棋盘上,使得每行、每列有且只有一个,每条对角线(包括两条主对角线的所有平行线)上至多有一个棋子。

上面的布局可以用序列2 4 6 1 3 5来描述,第i个数字表示在第i行的相应位置有一个棋子,如下:

行号 1 2 3 4 5 6

列号 2 4 6 1 3 5

这只是跳棋放置的一个解。请编一个程序找出所有跳棋放置的解。并把它们以上面的序列方法输出。解按字典顺序排列。请输出前3个解。最后一行是解的总个数。

//以下的话来自usaco官方,不代表洛谷观点

特别注意: 对于更大的N(棋盘大小N x N)你的程序应当改进得更有效。不要事先计算出所有解然后只输出(或是找到一个关于它的公式),这是作弊。如果你坚持作弊,那么你登陆USACO Training的帐号删除并且不能参加USACO的任何竞赛。我警告过你了!

输入输出格式

输入格式:

一个数字N (6 <= N <= 13) 表示棋盘是N x N大小的。

输出格式:

前三行为前三个解,每个解的两个数字之间用一个空格隔开。第四行只有一个数字,表示解的总数。

输入输出样例

输入样例#1: 复制
6
输出样例#1: 复制
2 4 6 1 3 5
3 6 2 5 1 4
4 1 5 2 6 3
4

说明

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

分析:

之前的代码是这样写的,从1开始搜索,mape[i]表示第i行的纵坐标是几,让mape[i]=1~n,每一次赋值都用一个for循环从1循环到i-1行,判断是否有相同列的再判断是否在对角线上……结果最后一个点超时了……

超时代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int n;
int sum,mape[15];
int judge(int hang){
    for(int i=1;i<hang;i++){
        if(mape[i]==mape[hang]||hang-i==abs(mape[hang]-mape[i]))
            return 0;
    }
    return 1;
}

void dfs(int hang){
    if(hang==n+1){
        sum++;
        if(sum<=3){
            printf("%d",mape[1]);
            for(int i=2;i<=n;i++){
                printf(" %d",mape[i]);
            }
            printf("\n");
        }
        return ;
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        mape[hang]=i;
        if(judge(hang)){
            dfs(hang+1);
        }
    }
}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    sum=0;
    dfs(1);
    printf("%d\n",sum);
}

后来在网上学了一下,我们可以设4个数组:

a[i]表示第i行的纵坐标为多少

b[i]表示第i列有没有被占用,1占用,0,没占用

c[i]记录左下到右上的对角线:我们可以发现,如果两个点都在左下到右上的线上,那么他们的横、纵坐标相加的值相等

d[i]记录右下到左上的对角线:我们可以发现,如果两个点都在右下到左上的线上,那么他们的横、纵坐标相减的值相等,但有可能是负数,所以我们偏移n

这样设4个数组,我们每次判断即可,不用再循环一次了。

AC代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>
#include<queue>
#include<vector>
using namespace std;
int n;
const int N=33;
int sum,a[N],b[N],c[N],d[N];

void dfs(int hang){
    if(hang==n+1){
        sum++;
        if(sum<=3){
            printf("%d",a[1]);
            for(int i=2;i<=n;i++){
                printf(" %d",a[i]);
            }
            printf("\n");
        }
        return ;
    }
    for(int j=1;j<=n;j++){
        if(!b[j]&&!c[hang+j]&&!d[hang-j+n]){
            a[hang]=j;
            b[j]=1;
            c[hang+j]=1;
            d[hang-j+n]=1;
            dfs(hang+1);
            b[j]=0;
            c[hang+j]=0;
            d[hang-j+n]=0;
        }
    }

}

int main(){
    scanf("%d",&n);
    sum=0;
    dfs(1);
    printf("%d\n",sum);
}


### 关于平台P1219题目的Python解法 对于平台上的题目P1219——八皇后问题,该问题是经典的回溯算法应用实例。此问题的目标是在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上。 #### 使用回溯法解决八皇后问题 为了实现这一目标,可以采用回溯的方法来尝试每一种可能的位置组合,并通过剪枝操作排除不合法的情况: ```python def solveNQueens(n=8): solutions = [] def backtrack(row, cols, diags, anti_diags, current_solution): if row == n: solutions.append(current_solution[:]) return for col in range(n): diag = row - col anti_diag = row + col if col in cols or diag in diags or anti_diag in anti_diags: continue # 做选择 cols.add(col) diags.add(diag) anti_diags.add(anti_diag) backtrack(row + 1, cols, diags, anti_diags, current_solution + [col]) # 撤销选择 cols.remove(col) diags.remove(diag) anti_diags.remove(anti_diag) backtrack(0, set(), set(), set(), []) formatted_solutions = [ '.'*i + 'Q' + '.'*(n-i-1) for solution in solutions for i in solution ] count = len(solutions) first_three_solutions = ['\n'.join(formatted_solutions[i*n:(i+1)*n]) for i in range(min(count, 3))] result = '\n\n'.join(first_three_solutions) if count > 3: result += f'\n...\nTotal Solutions: {count}' print(result) solveNQueens() ``` 上述代码定义了一个`solveNQueens`函数用于求解并打印前三个符合条件的不同布局方案以及总的解决方案数量[^3]。
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