桐爷开车 线性动态规划

题目描述

桐爷人称计科老司机，有天要从深圳跑长途去帝都。桐爷的塞恩车每跑一千米耗油一升。塞恩车的油箱容量为200升。桐爷出发时有100升油，为了造成少耗油的假象到达帝都时至少有100升油。沿途有不少加油站，但是大多都是黑油站，油的价格差别大。桐爷心算了达帝都时的最小花费，请你也计算一下，看你是否能算对，有老司机的潜质。

输入

第一行是深圳到帝都的距离（小于10000千米），接着是不多于100个的黑油站的信息，按离深圳由近到远排列，包括油站到深圳的距离和每升油的价格（不超过2000）。

样例输入

500
100 999
150 888
200 777
300 999
400 1009
450 1019
500 1399

输出

桐爷到帝都的最小花费。如果不能按要求到达，输出Impossible

样例输出

450550

题解

一开始老师就跟我们说了这道题是线性动态规划，想了好久，想动态转移方程，后面发现这道题跟背包有点像。

动态转移方程如下：
dp[i][j] = min( dp[i][ j ] , dp[i-1][j+w-k ]+k*p[i] )这边的动态转移方程含义是：在第i个加油站加完k升油后具有j升油。

其中w为第i个油站和第i-1个油站之间的距离。

这边比较难理解的就是j+w-k，由于我已经说明j表示的是在第i个加油站加完油后的油量。那么j-k就代表到达第i个油站后尚未加油的状态，那么j-k+w就代表在第i-1个油站要出发往第i个油站的状态，也可简单理解为在第i-1个油站。

那么再次强调一下动态转移方程dp[i][j] = min( dp[i][ j ] , dp[i-1][j+w-k ]+k*p[i] )就表示我在第i个油站加油或不加油的最小话费金额。

注意由于油箱容量为200，所以任何时刻油量都不能超过200。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define INF 1e9
int len,n=1;
int dp[100+5][200+5];
int dist[100+5];//第i个站的距离
int p[100+5];   //第i个站的价格

int main(){
    cin >> len;
    for(n = 1; 2==scanf("%d%d",&dist[n],&p[n]);n++);
    n--;
	
	//初始状态dp中的元素初始为无穷大
    for(int i=0;i<=n;i++)
    	for(int j=0;j<=200;j++)
        	dp[i][j]=INF;
    /*
    出发点时，花费为0，注意出发时不是在第1个油站哦，
    出发点的下一个目标点才是油站，
    注意，第一个油站的下标值是从1开始的，不是0开始。
    */
    dp[0][100]=0;

    //DP递推过程
    for(int i=1; i<=n; i++){
        //第i站与第i-1站的距离差值
        int w=dist[i]-dist[i-1];
        //j从0-200枚举，j表示在第i个油站出发时油的容量
        for(int j=0; j<=200; j++){
        	//k表示在第i个油站加了多少油
            for(int k=0; k<=j; k++)
           /*
     		j+w-k：在第i-1个油站出发的油量且其油量不能多于200
     		(赛恩车油箱容量为200)
     		*/
            if(j+w-k<=200 ){
            	//加和不和的话费不同，我们选择话费较小的
                dp[i][j]=min(dp[i][j],
                    dp[i-1][j+w-k]+k*p[i]);
            }
        }
    }
	/*
	解释一下下面的判断，由于dist数组存储的是深圳到油站的距离，
	len表示深圳到北京的距离，
	如果深圳到北京的距离-深圳到最后一个油站的距离大于100，那么桐爷就到不了北京了
	仔细思考一下，就能想明白的。（因为我们到北京时车里还需要有100升的汽油）
	*/
    if(len-dist[n]>100
        || dp[n][100+len-dist[n]]==INF)
        printf("Impossible\n");
    else
    	//能够到达北京，并且车里有100升油的最小花费。
        printf("%d\n",dp[n][100+len-dist[n]]);
    return 0;
}