无尺度网络的鲁棒性和脆弱（小世界网络）

无标度网络
在网络理论中，无尺度网络（或称无标度网络）是带有一类特性的复杂网络，其典型特征是在网络中的大部分节点只和很少节点连接（节点的’度‘很小），而有极少的节点与非常多的节点连接（节点的’度‘非常高）。这种关键的节点（称为“枢纽”或“集散节点”）的存在使得无尺度网络对意外故障有强大的承受能力，但面对协同性攻击时则显得脆弱。现实有1000个节点的BA模型网络中的许多网络都带有无尺度的特性，例如因特网、金融系统网络、社会人际网络等等。

BA模型的两个假设：
　　增长模式：不少现实网络是不断扩大不断增长而来的，例如互联网中新网页的诞生，人际网络中新朋友的加入，新的论文的发表，航空网络中新机场的建造等等。
　　优先连接模式：新的节点在加入时会倾向于与有更多连接的节点相连，例如新网页一般会有到知名的网络站点的连接，新加入社群的人会想与社群中的知名人士结识，新的论文倾向于引用已被广泛引用的著名文献，新机场会优先考虑建立与大机场之间的航线等等。

因特网的无标度网络特征
2000年7月27日，《自然》杂志的封面文章标题是《因特网的阿喀琉斯之踵》（Achilles’ Heel of the Internet）。阿喀琉斯是古希腊神话中的英雄，他出生后，他的母亲捏着他的脚踝将他浸泡在冥河中，从此他的身体刀枪不入，只有踵部没被浸到，是为其致命弱点。因此如今“阿喀琉斯之踵”常被用来称呼一个系统的致命缺陷。这篇文章中从因特网的无尺度特性出发，探讨它对意外故障的承受能力。
　　假设在一个网络中移除一个节点，以及与其相关的连接，那么原网络中的其他点也可能受到影响：原本相连的两个节点可能不再相连；即使相连，从其中一处到另一处可能需要经过更多的路途。总的来说，网络的连通性降低了。文章比较了ER随机网络模型与BA模型在移除少量节点时对网络连通性的影响。这个影响主要使用最大连通子图的大小S与平均路径长度l来衡量。在执行“随机攻击策略”，也就是在网络中随机地去除一些节点时，无尺度网络的S比随机网络下降慢得多，l的增长也缓慢得多。但是在执行“蓄意攻击策略”，也就是选择移除连接度最高的节点时，则会得到相反的结果。受到随机攻击的随机图会分裂成几个较小的子图，而无尺度网络则有很大概率保持连通；然而面对蓄意攻击（或称协同攻击）时，只需要移除5-10%的高于5度的节点，就能彻底瘫痪无尺度网络。

流行病临界值
　　流行病或网络病毒在复杂网络中的传播也是复杂网络研究的方向之一。在均匀网络如ER模型随机网络或小世界网络中，如果考虑易感（S）→感染（I）→易感（S）的SIS模型，那么存在一个与网络特性相关的临界值，当有效传播率高于这个临界值的时候，传染病会在网络中传播并稳定在某个恒定密度上（激活相态）。而当有效传播率低于这个临界值时，传染病会很快逐渐消亡（吸收相态）。对于无尺度网络，由于度分布不均匀，临界值比较小。对于BA模型，临界值为0。也就是说，只要有效传播率大于0，病毒就能有效传播并达到稳定。而对于有限规模的无标度网络，临界值大于0，但会在均匀网络的十分之一左右。因此，无标度网络对于病毒传播的抵抗性较均匀网络脆弱得多。
　　由于无尺度网络应对流行病感染的脆弱性，人们提出不同的免疫策略来弥补。主要研究的免疫策略有三种：随机免疫、选择免疫与熟人免疫。
随机免疫
　　随机免疫是在网络中随机抽取一部分节点进行免疫。研究表明，采取这种策略的话，需要对网络中几乎所有的节点都进行免疫才能保证最终消灭传染病。
选择免疫
　　选择免疫是在网络中抽取度最大的节点进行免疫。就BA模型而言，采取这种策略的话，即使有效传播率变化，也可以只免疫很小一部分节点就保证消灭传染病。
熟人免疫
　　由于选择免疫需要知道全局节点的度数情况，才能找到度数最大节点进行免疫，这在面对互联网等庞大的复杂网络时会导致难以操作。熟人免疫采取的是随机抽取一部分节点，然后对每个节点随机选一个与之相连的“邻居”节点来进行免疫。由于在无尺度网络中，度大的节点可以与非常多的节点相连，因此选择“邻居”免疫的话，碰到度大节点的概率会比碰到度小节点的概率大得多。所以熟人免疫要比随机免疫有效得多，只略差于选择免疫。

同步性
音乐会或歌剧完场时，台下的观众不间断地鼓掌。在很短几次后，鼓掌的频率就会变得同步。这种现象显示出网络的同步性。研究表明，网络动力系统的同步性取决于节点动力系统的特性，节点的耦合方式与网络的结构。对于BA模型网络，节点数的增加不会降低网络同步的稳定性。而面对随机攻击和蓄意攻击，BA模型网络的同步性与连通性表现出相同的特征：对于随机攻击承受性强，而对蓄意攻击则显得脆弱。
小世界网络是一类特殊的复杂网络结构，在这种网络中大部分的节点彼此并不相连，但绝大部分节点之间经过少数几步就可到达。 在日常生活中，有时你会发现，某些你觉得与你隔得很“遥远”的人，其实与你“很近”。