回文数多还是质数多，谈USACO回文质数题Prime Palindromes

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#algorithm #优化 #回文质数 #构造 #usaco

本文深入探讨了USACO竞赛中的回文质数问题，分析了回文数和质数的数量特征，并提出了高效的算法优化策略。通过对回文质数的构造和性质研究，为解决此类问题提供了新的思路。

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题意是求出a到b的回文质数，b最大可为1亿。


   先判断是回文数还是质数是很有意思的！如果是1亿，则用得到前一半，反转它，得到后一半，让两者结合在一起的方法的话，那么可以通过1到1万，得到1亿以内的所有回文数。例如9876，反转后是6789，拼在一起，得到98766789。看看三位数有多少个回文数。
   三位数的回文数都是aba的形式，a可以为1到9，b可以为0到9，则有90个。四位数的回文数为abba的形式，ab可以为10到99，则有90个。一亿以内的回文数，假如0不算的话，那么最小的为1，最大的为9999 9999，即为1位数到8位数的所有回文数，记为s。
现要求n位数的回文数个数，f(n)=9*10^[(n-1)/2],则显然s=f(n),(n=1,2,……，8).s=9+9+……9000+9000。s=2*(9+90+900+9000)=2*(10000-1)=19998。


那有大约有多少个质数呢？
根据素数定理，a以内的质数个数约为a/ln(a)。1亿/ln(1亿)约为5428681。


可见质数远多于回文数！


实际情况如何？用isPrime(i)&&palindrome(i)作为判断语句的话，输出1亿以内的全部回文质数，要35秒，而用palindrome(i)&&isPrime(i)，只用19秒！而把palindrome(i)，isPrime(i)先计算保存起来，再判断的话，要54秒。


有趣的是，打表的时候发现，除了11，没有偶
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回文三位数
fjkgh的博客
03-27 1562
【题目描述】 如果一个数从左边读和从右边读都是同一个数，就称为回文数。例如6886就是一个回文数，求出所有的既是回文数又是素数的三位数。 【输入】 (无） 【输出】 所有的既是回文数又是素数的三位数。一个数一行。 【输入样例】 （无） 【输出样例】 （无） #include<iostream> #include<cmath> using namespace std; int sh(int i); int main() { int i; for(i=100;i<=999;i+
基础题1亿内回文素数（洛谷）——一般
weixin_43805821的博客
12-01 1607
题目：https://www.luogu.org/problemnew/show/P1217 注.本文主要作为自己的学习笔记。 题目描述 因为151既是一个质数又是一个回文数(从左到右和从右到左是看一样的)，所以 151 是回文质数。 写一个程序来找出范围[a,b](5 &amp;amp;lt;= a &amp;amp;lt; b &amp;amp;lt;= 100,000,000)( 一亿)间的所有回文质数; 输入格式： 第 1 行:...
usaco回文质数
zhhx2001的博客
05-01 1023
首先看个定理： 1：质数肯定比回文数要少，所以先判断质数 2： 首先我们可以证明，任何一个偶数位数的回文数都不是质数（除11外） 两位回文数：都是11的倍数，故除11外无质数 四位回文数：设其个位数、千位数为a，十位数、百位数为b，则：原数=a*1001+b*110=91*11*a+10*11*b=(91*a+10*b)*11,故也为11的倍数，不为质数
求一亿以内的回文质数（素数）
南 墙
02-29 1万+
求一亿以内的回文素（质）数 先求质数再判断回文，效率低下；所以先构造回文数，再判断质数。 偶数位的回文数都能被11整除，自己证明去。所以，偶数位的回文数除了11都是合数。 观察偶数位的回文数，提取所有奇数位的数字，与提取所有偶数位的数字，正好是相反的顺序。 因此，偶数位数和等于奇数位数和，从而差等于0，而0能被11整除，因此这个回文数，可以被11整除 例：1331 13 31 或者 a...
一亿以内的回文素数
Epic丶玖遇
05-12 3692
题意分析：求1~100000000内的回文素数 题目分析： 1.多组测试数据，所以先打表。打表O(N), N=10^9, 先求质数再判断回文，还是O(N), 效率低下；所以先构造回文数，再判断质数。 2.偶数位的回文数都能被11整除，自己证明去。所以，偶数位的回文数除了11都是合数。 3.一个k位数，可以构造出一个奇数位的回文数。比如13，可以构造131；189可以构造18981.所以10
[USACO1.5] 回文质数 Prime Palindromes
pleasantgoat17的博客
02-28 674
因为151既是一个质数又是一个回文数（从左到右和从右到左是看一样的），所以151是回文质数。写一个程序来找出范围ab5≤ab≤100000000（一亿）间的所有回文质数。
P1217 回文质数 Prime Palindromes【素数】
海岛Blog
05-30 1056
因为151既是一个质数又是一个回文数（从左到右和从右到左是看一样的），所以151是回文质数。写一个程序来找出范围ab5≤ab≤100000000（一亿）间的所有回文质数。
回文质数 Prime Palindromes (欧拉筛法优化 AND 生成回文数)
LZRdamno的博客
11-16 1151
到了现在，只需要从5枚举到 floor(sqrt(p))的所有可能为质数的数，也就是在6的两边的数字，依次p%这个数 看看这个数是不是p的因数，如果是那么p就不是质数，否则p就是质数。是的，我和你们大多数人一样，都是因为超时而不知道怎么办，我冥思苦想了一周，在网上搜了好久，才想出解决的办法。综上所述，只有（p%6==1 || p%6==5）时p才有可能为质数。先把左半边翻转形成右半边，再把右半边第一个不用，合并左，右半边。直接把左半边翻转形成右半边，合并左，右半边。已经有一半（左），生成右半边。
每日一题洛谷P1217 [USACO1.5] 回文质数 Prime Palindromes c++
2401_88089822的博客
01-30 474
作者实测先一后二AC6个，先二后一AC9个。想要最后一个AC的话要用到一种筛选质数的算法，欧拉筛（线性筛）和埃氏筛都可以。其实作者两个都知道，但是都不会写。于是写了一个简略版的欧拉筛（就是for中的第一个if语句）。大意是在判断回文数时先把一些明显不符合题意的数字直接跳过，作者跳过了2、3、5的倍数。整个代码的思路是：1、初步筛选出符合条件的数；此题可以分为两个步骤，一、判断质数，二、判断回文数。显然，先判断回文数会快很多。
USACO 回文质数
qq_43627100的博客
02-22 324
题目:回文质数 题目描述 给定a，b（1<a，b<10,000,000,000）请求出所有在这两个数范围内，既是回文又是质数的数字。 题目思路 因为范围过于大，如果遍历范围内的每一个数字，判定是否为质数？是否为回文？复杂度过高。 问题是缩小范围。 首先，位数是偶数的回文数字必是11的倍数(除11本身）（例如 2112=11*192），所以1000万到1亿之间不可能存在回文质数,将范围缩小至1000万。 很多选择枚举范围的做法，这里写一下自己想的生成回文，比如数字b翻转过来是d，那么可以生成三类回
C语言求回文素数
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1.问题描述 所谓回文素数指的是，对一个整数n从左向右和从右向左读其数值都相同且n为素数，则称整数为回文素数。 对于偶数位的整数，除了11以外，都不存在回文素数。即所有的4位整数、6位整数、 8位整数…都不存在回文素数。下面列出两位和三位整数中包含的所有回文素数。 两位回文素数：11 三位回文素数：101、131、151、181、191、313、353、373、383、727、
回文质数 Prime Palindromes（打表）
c_uizrp_dzjopkl的博客
08-10 924
题面 因为151既是一个质数又是一个回文数(从左到右和从右到左是看一样的)，所以 151 是回文质数。 写一个程序来找出范围[a,b](5 &amp;amp;lt;= a &amp;amp;lt; b &amp;amp;lt;= 100,000,000)( 一亿)间的所有回文质数; 输入格式： 第 1 行: 二个整数 a 和 b . 输出格式： 输出一个回文质数的列表，一行一个。 样例.in 5 500 样例.out 5 ...
既是质数也是回文数
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10-14 3570
质数（prime number）又称素数，有无限个。 质数定义为在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数。（注意1不是质数） “回文”是指正读反读都能读通的句子，在自然数中，最小的回文数是0，其次是1,2,3,4,5,6,7,8,9,11,22,33,44,55,66,77,88,99,101,111,121,131,141,151,161,171,181,191,202,212,2
数据结构和算法 数论 素数/质数、回文素数
学以致用 知行合一
05-23 1946
素数是初等数论中重点研究的对象，早在公元前300年，当时古希腊著名数学家欧几里得发现了数论的本质是素数。欧几里得在其著作《几何原本》中证明了素数具有无穷多个。 素数又称为质数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，无法被其他自然数整除的数。比1大，但不是素数的称为合数。0和1既不是素数也不是合数。 素数的分布没有很明显的规律，仍然有很多伟大的数学家对其进行研究。例如，最早的欧几里得、17世纪法国的费尔马、法国的梅森等。
回文质数——普遍用法
Aaron_1997的博客
03-15 292
题目描述 因为151既是一个质数又是一个回文数(从左到右和从右到左是看一样的)，所以 151 是回文质数。 写一个程序来找出范围[a,b](5 &lt;= a &lt; b &lt;= 100,000,000)( 一亿)间的所有回文质数; 输入输出格式 输入格式： 第 1 行: 二个整数 a 和 b . 输出格式： 输出一个回文质数的列表，一行一个。 java实现（88分） ...
判断回文数、质数的最简单算法
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USACO1.5]回文质数 Prime Palindromes
LjcoderDCC的博客
12-05 4286
题目描述 因为151既是一个质数又是一个回文数(从左到右和从右到左是看一样的)，所以 151 是回文质数。 写一个程序来找出范围[a,b](5 输入输出格式 输入格式： 第 1 行: 二个整数 a 和 b . 输出格式： 输出一个回文质数的列表，一行一个。 输入输出样例 输入样例#1： 5 500 输出样例#1： 5 7 11
P1217 [USACO1.5] 回文质数 Prime Palindromes java
最新发布
03-19
### USACO P1217 Prime Palindromes 的 Java 实现 以下是基于枚举方法并结合回文数构造的方式实现的一个高效解决方案。此方案利用了回文数的特性以及质数判断算法，从而避免了大量的冗余计算。 #### 方法概述 为了提高效率，可以先生成给定范围内所有的回文数，再逐一验证这些回文数是否为质数。这种方法显著减少了需要测试的数量，因为大多数非回文数可以直接排除[^4]。 #### AC代码 (Java) ```java import java.util.ArrayList; import java.util.List; import java.util.Scanner; public class Main { public static void main(String[] args) { Scanner scanner = new Scanner(System.in); int a = scanner.nextInt(); int b = scanner.nextInt(); List<Integer> result = findPalindromePrimes(a, b); for (int num : result) { System.out.println(num); } } private static boolean isPrime(int n) { if (n < 2) return false; if (n == 2 || n == 3) return true; // 特殊情况处理 if (n % 2 == 0 || n % 3 == 0) return false; for (int i = 5; i * i <= n; i += 6) { // 跳过偶数和能被3整除的数 if (n % i == 0 || n % (i + 2) == 0) return false; } return true; } private static List<Integer> generatePalindromes(int length) { List<Integer> palindromes = new ArrayList<>(); if (length == 1) { for (int i = 0; i <= 9; i++) { palindromes.add(i); } return palindromes; } int halfLength = (length + 1) / 2; int start = (int) Math.pow(10, halfLength - 1); int end = (int) Math.pow(10, halfLength); for (int prefix = start; prefix < end; prefix++) { String s = Integer.toString(prefix); StringBuilder sb = new StringBuilder(s); if (length % 2 == 0) { sb.append(new StringBuilder(s).reverse()); } else { sb.append(new StringBuilder(s.substring(0, s.length() - 1)).reverse()); } palindromes.add(Integer.parseInt(sb.toString())); } return palindromes; } private static List<Integer> findPalindromePrimes(int a, int b) { List<Integer> primes = new ArrayList<>(); for (int len = 1; len <= 8 && Math.pow(10, len - 1) <= b; len++) { List<Integer> candidates = generatePalindromes(len); // 构造长度为len的所有回文数 for (int candidate : candidates) { if (candidate >= a && candidate <= b && isPrime(candidate)) { primes.add(candidate); } } } return primes; } } ``` --- #### 关键点解释 1. **回文数生成逻辑**: 使用 `generatePalindromes` 函数动态生成指定长度的回文数。对于奇数长度的回文数，中间字符不重复；而对于偶数长度，则完全对称。 2. **质数检测优化**: 利用了跳过偶数和能被3整除的数的方法，并进一步缩小循环范围至平方根级别 \( \sqrt{n} \)。 3. **边界条件处理**: 需要特别注意上下界 `[a, b]` 和最大可能值 \(10^8\) 的约束条件[^2]。 --- #### 时间复杂度分析 由于只针对回文数进行质数检验，而且回文数数量远少于总自然数数量，因此该算法的时间复杂度相较于暴力解法大幅降低。具体时间复杂度取决于区间大小和回文数分布密度。 ---
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