题意:定义SPD=∑Di2,Di 为在数列中随机不重复抽取1对,两个值的方差。现在给定一个数列,问最少要把它分割成连续的多少段,使得每一段抽取m队的SPD值不超过给定的 limit (如果不足m对就尽量多抽取)。
倍增+二分+暴力
首先注意对于一个数列,最大的SPD值就是排好序之后最大与最小、第二大与大二小…这样构成的m对的方差和。其次要想分段最少,那么对于每一个左端点,都希望右端点尽量靠右。于是对于当前起点,我们倍增地寻找出一段区间 i ~ i+2^(j-1)-1 以及 i ~ i+2^j-1 满足前面的一段区间中SPD值合法,后面的一段SPD值非法或者已经超出了n,而计算SPD值就是直接暴力把这一段拿出来排序查找。于是我们得出对于i点的右端点落在了 [ i+2^(j-1)-1 , i ~i+2^j-1] 中。 因为SPD值绝对是单调递增的,所以满足二分性质,二分出右端点就好了。但是这里还有一个问题,如果二分还按照上面的暴力算SPD值可能会超时,还需要一点小小的优化。我们把 [ i , i+2^j-1 ] 的下标按照对应原序列的数值大小排序,然后头尾两个指针,对于下标大于mid就忽略,这样算SPD就省去了一个log,就可以过了。
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 500010;
int a[maxn], f[maxn];
int n, m, l, r, mid, ans, j, tot;
long long limit;
inline void read(int &ret) {
char c;
if (c=getchar(), c==EOF) return;
while (c < '0' || c > '9') c = getchar();
ret = c-'0';
while (c = getchar(), c >= '0' && c <= '9') ret = ret*10+(c-'0');
}
inline bool check(int l, int r) {
tot = 0;
long long sum = 0;
for (int i = l; i <= r; i++) f[++tot] = a[i];
sort(f+1, f+1+tot);
for (int i = 1; i <= m; i++) {
if (i >= (tot-i+1)) break;
sum += 1LL*(f[tot-i+1]-f[i])*(f[tot-i+1]-f[i]);
if (sum > limit) break;
}
if (sum > limit) return false;
return true;
}
inline bool cmp(int x, int y) {
return a[x] < a[y];
}
inline bool calc() {
long long sum = 0;
int ll = 1, rr = tot;
for (int step = 1; step <= m; step++) {
while (ll < rr && f[ll] > mid) ll++;
while (ll < rr && f[rr] > mid) rr--;
if (ll >= rr) break;
sum += 1LL*(a[f[rr]]-a[f[ll]])*(a[f[rr]]-a[f[ll]]);
if (sum > limit) break;
ll++; rr--;
}
return sum <= limit;
}
int main() {
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d%d%lld", &n, &m, &limit);
for (int i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
for (j = 1; i+(1<<j)-1 <= n; j++) {
if (!check(i, i+(1<<j)-1)) break;
}
l = i+(1<<(j-1))-1; r = min(i+(1<<j)-1, n);
tot = 0;
for (int k = i; k <= r; k++) f[++tot] = k;
sort(f+1, f+tot+1, cmp);
while (l <= r) {
mid = (l+r)/2;
if (calc()) {
i = mid;
l = mid+1;
} else r = mid-1;
}
ans++;
}
printf("%d\n", ans);
}
}