区间DP

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先来看看题吧.

1382 沙子合并

时间限制: 1 s

空间限制: 128000 KB

题目等级 : 大师 Master

题目描述 Description

　　设有N堆沙子排成一排，其编号为1，2，3，…，N（N<=300）。每堆沙子有一定的数量，可以用一个整数来描述，现在要将这N堆沙子合并成为一堆，每次只能合并相邻的两堆，合并的代价为这两堆沙子的数量之和，合并后与这两堆沙子相邻的沙子将和新堆相邻，合并时由于选择的顺序不同，合并的总代价也不相同，如有4堆沙子分别为 1 3 5 2 我们可以先合并1、2堆，代价为4，得到4 5 2 又合并 1，2堆，代价为9，得到9 2 ，再合并得到11，总代价为4+9+11=24，如果第二步是先合并2，3堆，则代价为7，得到4 7，最后一次合并代价为11，总代价为4+7+11=22；问题是：找出一种合理的方法，使总的代价最小。输出最小代价。

输入描述 Input Description

第一行一个数N表示沙子的堆数N。
第二行N个数，表示每堆沙子的质量。 <=1000

输出描述 Output Description

合并的最小代价

样例输入 Sample Input

4
1 3 5 2

样例输出 Sample Output

题解:

#include<iostream>
#define inf 10e6
using namespace std;
int sum[310],f[310][310];
int min(int a,int b)
{
	return a>b?b:a;
}
int dp(int l,int r)
{
	int k;
	if(l==r) return 0;
	for(k=l;k<r;k++)
	{
		if(f[l][k]==inf) f[l][k]=dp(l,k);
		if(f[k+1][r]==inf) f[k+1][r]=dp(k+1,r);
		f[l][r]=min(f[l][r],f[l][k]+f[k+1][r]+sum[r]-sum[l-1]); 
	}
	return f[l][r];
}
int main()
{
	int n,t;
	cin>>n;
	for(int i=0;i<310;i++)
	 for(int j=0;j<310;j++) f[i][j]=inf; 
	 
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>t;
		sum[i]+=sum[i-1]+t;
		f[i][i]=0;
	}
	cout<<dp(1,n)<<endl;
	return 0;
}

<span style="box-sizing: border-box; color: rgb(88, 102, 110); font-family: "Source Sans Pro", "Helvetica Neue", Helvetica, Arial, 微软雅黑, 黑体, sans-serif; font-size: 24px; line-height: 26.4px; background-color: rgb(240, 243, 244);">2192 删数</span>

题目描述 Description

有N个不同的正整数数x1, x2, ... xN 排成一排，我们可以从左边或右边去掉连续的i个数（只能从两边删除数），1<=i<=n，剩下N-i个数，再把剩下的数按以上操作处理，直到所有的数都被删除为止。
每次操作都有一个操作价值，比如现在要删除从i位置到k位置上的所有的数。操作价值为|xi – xk|*(k-i+1)，如果只去掉一个数，操作价值为这个数的值。
任务
如何操作可以得到最大值，求操作的最大价值。

输入描述 Input Description

输入文件remove.in 的第一行为一个正整数N，第二行有N个用空格隔开的N个不同的正整数。
N个操作数为1..1000 之间的整数。

输出描述 Output Description

输出文件remove.out 包含一个正整数，为操作的最大值

样例输入 Sample Input

6
54 29 196 21 133 118

样例输出 Sample Output

768

数据范围及提示 Data Size & Hint

3<=N<=100

#include<iostream>
using namespace std;
int f[200][200],a[200];
char s[100000000000]; 
int max(int a,int b)
{
	return a>b?a:b;
}
int abs(int x)
{
	return x>0?x:-x;
}
int dp(int l,int r)
{
	int x=-100;
	if(f[l][r]) return f[l][r];
	if(l==r) return a[l];
	if(l>r) return 0;
	for(int i=0;i<2;i++)
	  for(int j=2;j<=r-l+1;j++)
	  {
          if(i==0) 
		  	x=max(x,j*abs(a[l+j-1]-a[l])+dp(l+j,r));
          else if(i==1) 
		  	x=max(x,j*abs(a[r-j+1]-a[r])+dp(l,r-j));
	  }
	x=max(x,a[l]+dp(l+1,r));
	x=max(x,a[r]+dp(l,r-1));
	f[l][r]=x;
	return f[l][r]; 
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	cout<<dp(1,n)<<endl;
	return 0;
}

<span style="box-sizing: border-box; color: rgb(88, 102, 110); font-family: "Source Sans Pro", "Helvetica Neue", Helvetica, Arial, 微软雅黑, 黑体, sans-serif; font-size: 24px; line-height: 26.4px; background-color: rgb(240, 243, 244);">1090 加分二叉树</span>

题目描述 Description

设一个n个节点的二叉树tree的中序遍历为（l,2,3,…,n），其中数字1,2,3,…,n为节点编号。每个节点都有一个分数（均为正整数），记第j个节点的分数为di，tree及它的每个子树都有一个加分，任一棵子树subtree（也包含tree本身）的加分计算方法如下：

subtree的左子树的加分× subtree的右子树的加分＋subtree的根的分数

若某个子树为主，规定其加分为1，叶子的加分就是叶节点本身的分数。不考虑它的空

子树。

试求一棵符合中序遍历为（1,2,3,…,n）且加分最高的二叉树tree。要求输出；

（1）tree的最高加分

（2）tree的前序遍历

现在，请你帮助你的好朋友XZ设计一个程序，求得正确的答案。

输入描述 Input Description

第1行：一个整数n（n<=30），为节点个数。

第2行：n个用空格隔开的整数，为每个节点的分数（分数<=100）

输出描述 Output Description

第1行：一个整数，为最高加分（结果不会超过4,000,000,000）。

第2行：n个用空格隔开的整数，为该树的前序遍历。

样例输入 Sample Input

5 7 1 2 10

样例输出 Sample Output

145

3 1 2 4 5

数据范围及提示 Data Size & Hint

n（n<=30)

分数<=100

#include<iostream>
using namespace std;
int a[50],f[50][50],g[50][50];
int dp(int l,int r)
{
    int t;
	if(l>r) return 1;
	if(l==r) return a[l];
	if(f[l][r]) return f[l][r];
	for(int k=l;k<=r;k++)
	{
		t=dp(l,k-1)*dp(k+1,r)+a[k];
		if(t>f[l][r])
		{
			f[l][r]=t;
			g[l][r]=k;
		}
	}
	return f[l][r];
}
void print(int a,int b)
{
	if(a>b) return;
    if(a==b)
	{
		cout<<a<<" ";
		return;
	}
	cout<<g[a][b]<<" ";
	print(a,g[a][b]-1);
	print(g[a][b]+1,b);
}
int main()
{
	int n;
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	cout<<dp(1,n)<<endl;
	print(1,n);
	return 0;
}

然后就可以看出区间DP的一般套路：

DP(l,r)
{
判断边界(l>r or l=r or f[l][r]!=0)
枚举k值，划分中间状态
{
if(f[l][k]...) f[l][k]=DP(l,k);
if(f[k+1][r]...) f[k+1][r]=DP(k+1,r);
f[l][r]=min or max(f[l][r],f[l][k]...f[k+1][r])此处视具体题目要求
}
return f[l][r];
}
main
{
读取数据;
cout<<DP(1,n)
}
//以上为区间DP的一般套路，如果题目有其他特殊要求应适度变化,如删数:
for 枚举两种操作
for 枚举k值,划分中间状态