NOIP2011：数的划分

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该博客介绍了NOIP2011比赛中关于数的划分问题，探讨了如何将整数n分成k份不同方案的计数方法。通过分析，将方案分为至少包含一份1和不包含1的两类，并给出了递推式的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【题目描述】

将整数n分成k份，且每份不能为空，任意两种划分方案不能相同(不考虑顺序)。
例如：n=7，k=3，下面三种划分方案被认为是相同的。
1 1 5
1 5 1
5 1 1
问有多少种不同的分法。

【简要题解】

如果我们想将一个数n分成k份，那么可以将方案分为两类：
1.至少包含一份1
2.一份1都不包含（也就是均大于1）
于是我们可以先将n-1分成k-1份，再加一份1进去。（对应第1类）
还可以先将n-k分成k份，再把每份都加上一个1。（对应第2类）
于是有：

f i, j = f i - 1, j - 1 + f i - j, j

$f_{i,j}=f_{i-1,j-1}+f_{i-j,j}$
时间复杂度O(nk)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int maxn = 5005;
const int mod = 998244353;

int n, m;
int f[maxn][maxn];

void input()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
}

void solve()
{
    f[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i) f[i][1] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; ++i)
        for(int j = 2; j <= n; ++j)
            f[i][j] = (f[i][j] + f[i-1][j-1] + (i >= j ? f[i-j][j] : 0)) % mod;
    printf("%d\n", f[n][m]);
}

int main()
{
    input();
    solve();
    return 0;
}