Maximum Subsequence Sum

本文探讨了最大子序列和问题的解决方法,提供了一个高效的算法实现,并通过具体例子进行了说明。该算法能够处理大规模数据集,适用于不同规模的整数序列。

最大子序列问题

给定K个整数组成的序列{ N1, N​2 , ..., NK},“连续子列”被定义为{ Ni​​ , N​i+1​​ , ..., N​j​​ },其中 1≤i≤j≤K。“最大子列和”则被定义为所有连续子列元素的和中最大者。例如给定序列{ -2, 11, -4, 13, -5, -2 },其连续子列{ 11, -4, 13 }有最大的和20。现要求你编写程序,计算给定整数序列的最大子列和。


本题旨在测试各种不同的算法在各种数据情况下的表现。各组测试数据特点如下:

数据1:与样例等价,测试基本正确性;
数据2:102个随机整数;
数据3:103个随机整数;
数据4:104个随机整数;

数据5:105个随机整数;


输入格式:

输入第1行给出正整数K (≤100000);第2行给出K个整数,其间以空格分隔。

输出格式:

在一行中输出最大子列和。如果序列中所有整数皆为负数,则输出0。

输入样例:

6

-2 11 -4 13 -5 -2

输出样例:

20


代码如下:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int MaxSubseqSum4(int A[], int N);

int main(){
	int N;
	scanf("%d", &N);
	int *A = (int*)malloc(sizeof(int)*N);
	
	for(int i = 0; i < N; i++) {
		scanf("%d",A+i);
	} 
	printf("%d", MaxSubseqSum4( A, N ));
	
	free(A);
	return 0;
}

int MaxSubseqSum4( int A[], int N )  
{   int ThisSum, MaxSum;
    int i;
    ThisSum = MaxSum = 0;
    for( i = 0; i < N; i++ ) {
          ThisSum += A[i]; /* 向右累加 */
          if( ThisSum > MaxSum )
                  MaxSum = ThisSum; /* 发现更大和则更新当前结果 */
          else if( ThisSum < 0 ) /* 如果当前子列和为负 */
                  ThisSum = 0; /* 则不可能使后面的部分和增大,抛弃之 */
    }
    return MaxSum;  
}

Maximum Subsequence Sum

Given a sequence of K integers { N​1​​ , N​2​​ , ..., N​K​​ }. A continuous subsequence is defined to be { N​i​​ , N​i+1​​ , ..., N​j​​ } where 1≤i≤j≤K. The Maximum Subsequence is the continuous subsequence which has the largest sum of its elements. For example, given sequence { -2, 11, -4, 13, -5, -2 }, its maximum subsequence is { 11, -4, 13 } with the largest sum being 20.

Now you are supposed to find the largest sum, together with the first and the last numbers of the maximum subsequence.

Input Specification:
Each input file contains one test case. Each case occupies two lines. The first line contains a positive integer K (≤10000). The second line contains K numbers, separated by a space.

Output Specification:
For each test case, output in one line the largest sum, together with the first and the last numbers of the maximum subsequence. The numbers must be separated by one space, but there must be no extra space at the end of a line. In case that the maximum subsequence is not unique, output the one with the smallest indices i and j (as shown by the sample case). If all the K numbers are negative, then its maximum sum is defined to be 0, and you are supposed to output the first and the last numbers of the whole sequence.

Sample Input:
10
-10 1 2 3 4 -5 -23 3 7 -21
Sample Output:
10 1 4

代码:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>

int main(){
	int N;
	scanf("%d", &N);
	int *A = (int*)malloc(sizeof(int)*N);
	int isAllNegative = 1; 
	
	int min = 0, max = 0, zancun = 0;
	
	int ThisSum, MaxSum;
    int i;
    ThisSum = MaxSum = 0;
	
	
	for(int i = 0; i < N; i++) {
		scanf("%d",A+i);
		if(*(A+i) >= 0)
			isAllNegative = 0;
	}
	
	if(isAllNegative == 1){
		printf("%s %d %d", "0", *(A), *(A+(N-1)));
		return 0;
	}
	
	for( i = 0; i < N; i++ ) {
			
          ThisSum += A[i]; /* 向右累加 */
          if( ThisSum > MaxSum ){
          	MaxSum = ThisSum; /* 发现更大和则更新当前结果 */
          	max = i;
          	min = zancun;
          }
          else if(ThisSum == MaxSum && ThisSum == 0){
          	min = zancun;
          	max = i;
          }
                  
          else if( ThisSum < 0 ){/* 如果当前子列和为负 */
          	ThisSum = 0;/* 则不可能使后面的部分和增大,抛弃之 */
          	zancun = i + 1;
		  } 
                   
    }
	printf("%d %d %d", MaxSum, *(A+min), *(A+max));
	
	free(A);
	return 0;
}


### 最大序列和问题的解决方法 最大序列和问题是经典的算法问题之一,目标是从给定数组中找到一个连续序列,使得该序列中的元素之和达到最大值。以下是基于动态规划的思想实现的一个高效解决方案。 #### 动态规划法 通过维护两个变量 `current_sum` 和 `max_sum` 来记录当前序列的最大和以及全局范围内的最大和。遍历整个数组一次即可完成计算: ```python def max_subsequence_sum(nums): current_sum = 0 max_sum = float('-inf') # 初始化为负无穷大 for num in nums: current_sum = max(num, current_sum + num) # 更新当前序列和 max_sum = max(max_sum, current_sum) # 更新全局最大和 return max_sum ``` 上述代码的时间复杂度为 \(O(n)\),其中 \(n\) 是输入表的长度[^1]。 #### 示例运行 假设我们有如下输入数据: ```python nums = [-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4] result = max_subsequence_sum(nums) print(result) # 输出应为6 (序列为 [4,-1,2,1]) ``` 此方法的核心在于每次迭代都决定是否将当前数加入到现有序列或者重新开始一个新的序列。 #### 非连续序列的情况 如果允许选取非连续序列,则可以采用贪心策略来解决问题。对于这个问题的具体实现方式已经在 JavaScript 的例中有体现。然而,在 Python 中可以通过简单的排序加累加操作快速得到结果: ```python def non_contiguous_max_subsequence_sum(nums): positive_nums = sorted([num for num in nums if num > 0], reverse=True) total = sum(positive_nums) return total if total != 0 else max(nums) # 测试用例 nums = [7, 2, -8, 4, 10, -2] result = non_contiguous_max_subsequence_sum(nums) print(result) # 应输出23 ``` 这里需要注意的是当所有数值均为负数时需单独处理以确保返回最大的单个元素作为结果。 ### 结论 无论是针对连续还是非连续情况下的最大序列求和问题都可以借助不同的优化手段有效解决。前者依赖于线性的扫描过程而后者则可能涉及更复杂的逻辑判断或额外的数据结构支持。
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