多项式核函数相关推导

本文深入探讨了多项式核函数的定义与推导过程,包括二次项和多次幂的详细解析,展示了如何通过组合输入向量的元素来构建高维特征空间。

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定义x=(x1,x2,…,xn)T∈Rnx=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T \in R^nx=(x1,x2,,xn)TRn,则称乘积xj1xj2…xjdx_{j_1}x_{j_2}\dots x_{j_d}xj1xj2xjdxxx的一个ddd阶多项式,其中j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n}j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}j1,j2,,jd{1,2,,n}

有序齐次多项式

  考虑二维空间(x∈R2x \in R^2xR2)的模式,x=(x1,x2)Tx = (x_1,x_2)^Tx=(x1,x2)T,其所有的二阶单项式为xi2,x22,x1x2,x2x1x_i^2,x_2^2,x_1x_2,x_2x_1xi2,x22,x1x2,x2x1 为有序单项式。

C2(x)=(x12,x22,x1x2,x2x1)TC_2(x)=(x_1^2,x_2^2,x_1x_2,x_2x_1)^TC2(x)=(x12,x22,x1x2,x2x1)T
Cd(x)=(xj1xj2…xjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})TC_d(x)=(x_{j_1}x_{j_2}\dots x_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^TCd(x)=(xj1xj2xjdj1,j2,,jd{1,2,,n})T

1、二次项推导

令x=(x1,x2)T,y=(y1,y2)T令 x=(x_1,x_2)^T,y=(y_1,y_2)^Tx=(x1,x2)T,y=(y1,y2)T
C2(x)⋅C2(y)=(x12,x22,x1x2,x2x1)T⋅(y12,y22,y1y2,y2y1)T=x12y12+x22y22+x1x2y1y2+x2x1y2y1=(x⋅y)2 \begin{aligned} C_2(x)·C_2(y) &=(x_1^2,x_2^2,x_1x_2,x_2x_1)^T · (y_1^2,y_2^2,y_1y_2,y_2y_1)^T\\ &=x_1^2y_1^2+x_2^2y_2^2+x_1x_2y_1y_2+x_2x_1y_2y_1\\ &=(x·y)^2 \end{aligned} C2(x)C2(y)=(x12,x22,x1x2,x2x1)T(y12,y22,y1y2,y2y1)T=x12y12+x22y22+x1x2y1y2+x2x1y2y1=(xy)2

2、多次幂推导

令x=(xj1,xj2,…,xjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T令 x=(x_{j_1},x_{j_2},\dots,x_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^T x=(xj1,xj2,,xjdj1,j2,,jd{1,2,,n})T
y=(yj1,yj2,…,yjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T y=(y_{j_1},y_{j_2},\dots,y_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^Ty=(yj1,yj2,,yjdj1,j2,,jd{1,2,,n})T
Cd(x)⋅Cd(y)=(xj1,xj2,…,xjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T⋅(yj1,yj2,…,yjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T=∑j1=1n⋯∑jd=1nxj1…xjd⋅yj1…yjd=∑j1=1nxj1yj1⋯∑jd=1nxjdyjd=(∑j=1nxiyi)d=(x⋅y)d \begin{aligned} C_d(x)·C_d(y) &=(x_{j_1},x_{j_2},\dots,x_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^T · (y_{j_1},y_{j_2},\dots,y_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^T\\ &=\sum_{j_1=1}^n\dots\sum_{j_d=1}^n x_{j_1}\dots x_{j_d} · y_{j_1}\dots y_{j_d}\\ &=\sum_{j_1=1}^n x_{j_1}y_{j_1} \dots \sum_{j_d=1}^n x_{j_d}y_{j_d}\\ &=(\sum_{j=1}^nx_iy_i)^d=(x·y)^d \end{aligned} Cd(x)Cd(y)=(xj1,xj2,,xjdj1,j2,,jd{1,2,,n})T(yj1,yj2,,yjdj1,j2,,jd{1,2,,n})T=j1=1njd=1nxj1xjdyj1yjd=j1=1nxj1yj1jd=1nxjdyjd=(j=1nxiyi)d=(xy)d

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