定义 设x=(x1,x2,…,xn)T∈Rnx=(x_1,x_2,\dots,x_n)^T \in R^nx=(x1,x2,…,xn)T∈Rn,则称乘积xj1xj2…xjdx_{j_1}x_{j_2}\dots x_{j_d}xj1xj2…xjd为xxx的一个ddd阶多项式,其中j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n}j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n}
有序齐次多项式
考虑二维空间(x∈R2x \in R^2x∈R2)的模式,x=(x1,x2)Tx = (x_1,x_2)^Tx=(x1,x2)T,其所有的二阶单项式为xi2,x22,x1x2,x2x1x_i^2,x_2^2,x_1x_2,x_2x_1xi2,x22,x1x2,x2x1 为有序单项式。
C2(x)=(x12,x22,x1x2,x2x1)TC_2(x)=(x_1^2,x_2^2,x_1x_2,x_2x_1)^TC2(x)=(x12,x22,x1x2,x2x1)T
Cd(x)=(xj1xj2…xjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})TC_d(x)=(x_{j_1}x_{j_2}\dots x_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^TCd(x)=(xj1xj2…xjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T
1、二次项推导
令x=(x1,x2)T,y=(y1,y2)T令 x=(x_1,x_2)^T,y=(y_1,y_2)^T令x=(x1,x2)T,y=(y1,y2)T
C2(x)⋅C2(y)=(x12,x22,x1x2,x2x1)T⋅(y12,y22,y1y2,y2y1)T=x12y12+x22y22+x1x2y1y2+x2x1y2y1=(x⋅y)2
\begin{aligned}
C_2(x)·C_2(y)
&=(x_1^2,x_2^2,x_1x_2,x_2x_1)^T · (y_1^2,y_2^2,y_1y_2,y_2y_1)^T\\
&=x_1^2y_1^2+x_2^2y_2^2+x_1x_2y_1y_2+x_2x_1y_2y_1\\
&=(x·y)^2
\end{aligned}
C2(x)⋅C2(y)=(x12,x22,x1x2,x2x1)T⋅(y12,y22,y1y2,y2y1)T=x12y12+x22y22+x1x2y1y2+x2x1y2y1=(x⋅y)2
2、多次幂推导
令x=(xj1,xj2,…,xjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T令 x=(x_{j_1},x_{j_2},\dots,x_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^T
令x=(xj1,xj2,…,xjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T
y=(yj1,yj2,…,yjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T
y=(y_{j_1},y_{j_2},\dots,y_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^Ty=(yj1,yj2,…,yjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T
Cd(x)⋅Cd(y)=(xj1,xj2,…,xjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T⋅(yj1,yj2,…,yjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T=∑j1=1n⋯∑jd=1nxj1…xjd⋅yj1…yjd=∑j1=1nxj1yj1⋯∑jd=1nxjdyjd=(∑j=1nxiyi)d=(x⋅y)d
\begin{aligned}
C_d(x)·C_d(y)
&=(x_{j_1},x_{j_2},\dots,x_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^T · (y_{j_1},y_{j_2},\dots,y_{j_d}|_{j_1,j_2,\dots,j_d \in \{1,2,\dots,n\}})^T\\
&=\sum_{j_1=1}^n\dots\sum_{j_d=1}^n x_{j_1}\dots x_{j_d} · y_{j_1}\dots y_{j_d}\\
&=\sum_{j_1=1}^n x_{j_1}y_{j_1} \dots \sum_{j_d=1}^n x_{j_d}y_{j_d}\\
&=(\sum_{j=1}^nx_iy_i)^d=(x·y)^d
\end{aligned}
Cd(x)⋅Cd(y)=(xj1,xj2,…,xjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T⋅(yj1,yj2,…,yjd∣j1,j2,…,jd∈{1,2,…,n})T=j1=1∑n⋯jd=1∑nxj1…xjd⋅yj1…yjd=j1=1∑nxj1yj1⋯jd=1∑nxjdyjd=(j=1∑nxiyi)d=(x⋅y)d