逻辑学学习.12 --- 谓词逻辑（四）：解释

前面讨论了一般命题的符号化，如果拿到一个符号化的命题，需要对它进行解释，就是符号化的逆过程。比如 F（a），F（a）命题的真假取决于对它的解释。F 是谓词，a是谓词常项，如果 “F（x）” 解释为 “x 是人”，“a” 解释为“孔子”，那么 F（a） 就是一个真命题。如果 F（x）同样解释为 “x是人” a 解释为 “黄鹤楼”，那么 F（a）就是一个假命题。

一。解释

对一般命题解释的方法：
a。规定一个非空论域 UD;
b。给每一个谓词常项指定一个属性。
c。给每一个个体常项指定论域中的一个成员。
d。给每一个命题常项指定一个真值。

例1） 考虑命题 ∃x R（x，b）∧ B 的解释。

[解释1]
UD：{江河}
R（x，b） ： x 比 b 长
b： 黄河
B： T （即 ：真）

那么 ∃x R（x，b） 的意思就是“ 有些江河比黄河长 ”，该命题是真的。 ∃x R（x，b）∧ B 两个合取支都是真的。故整个命题是真的。

假如把 b 解释为“长城”，那么 ∃x R（x，b） 的解释就是“ 有些江河比 长城长”，这是错误的，因为 b 是个体常项，它的取值必须在论域之内。

[解释2]
UD：{山峰}
R（x，b） ： x 比 b 高
b： 珠穆朗玛峰
B： T （即 ：真）

那么 ∃x R（x，b） 的解释就是“ 有些山峰比珠穆朗玛峰高 ”，这显然不是事实。 ∃x R（x，b）∧ B 两个合取支前面一个是假的，故整个命题是假的。

例2） 考虑命题 ∀x （ J（x） ↔ K（x）） 的解释。

[解释1]
UD：{ 正整数 }
J（x） ： x 是偶数
K（x）： x被2整除

那么 ∀x 量词之后的开语句（ J（x） ↔ K（x）） 的解释 就是“ x是偶数 ，当且仅当x能被2整除 ”，∀x 表示论域中的所有成员满足该条件。
∀x （ J（x） ↔ K（x）） 合起来解释就是：对所有的正整数x，x是偶数的条件，当且仅当x能被2整除。这个命题是真的。

我们再给另外一个解释：
[解释2]
UD：{ 正整数 }
J（x） ： x 是偶数
K（x）： x被4整除

∀x （ J（x） ↔ K（x）） 合起来解释就是：对所有的正整数x，x是偶数的条件，当且仅当x能被4整除。由数学知识我们得知，这个命题是假的。例如，x=6时，不满足。

例3） 考虑命题 ∃y （ H（y，b）∧ R（y，y）） 的解释。

[解释1]
UD：{ 人 }
H（y，b） ： y 是b的学生
R（y，y） ： y 认识y
b： 柏拉图

开语句（ H（y，b）∧ R（y，y））的解释是：y是柏拉图的学生并且y认识他自己。
∃y （ H（y，b）∧ R（y，y）） 合起来的解释就是：至少存在一个人，他是柏拉图的学生并且他认识他自己。我们知道，亚里士多德满足这个条件。
因此 存在命题 ∃y （ H（y，b）∧ R（y，y）） 相对于[解释1] 是真的。

[解释2]
UD：{ 正整数