本文详细探讨了古典概型中的乱序问题，以钥匙和锁为例，解释了至少有一把锁能被正确配对的概率计算方法。通过全排列、组合计数和概率公式，解析了至少一把锁能配对的概率，并引入了著名的‘乱序问题’，给出了N把锁和N把钥匙无一配对的几率及其极限值。
在文章 古典概型事件数计算, 分房，配对，乱序 (概统1)
中学习了几种古典概型概率的计算方法，不过最后一题写得不够详细，本篇文章进行补充。
【古典概型计算概率：乱序问题(Derangement)】
【钥匙乱序】
有外形相同的n把锁和n把钥匙，每把钥匙只能打开其中的一把锁，现将锁和钥匙随机配对，每对锁和钥匙各一把，试求至少有一把锁能被所配对钥匙打开的概率。
注意，同样是配对问题，与选择手套问题不同的是，手套问题可以只选部分，本题是全选，全排序，全乱序。
至少有一把锁能配对 = 有一把锁能配对 + 有两把锁能配对 +… + 有n把锁能配对
本题如果按照古典概率去求，比较难计算，因为很多情况交集在一起，不如按照概率公式去求，
例如三个事件的情况：P(AUBUC)=P(A)+P(B)+P©-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
本题，至少有一把锁能配对，可以表示成
⋃ i = 1 n A i \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} ⋃i=1nAi
P( ⋃ i = 1 n A i \bigcup_{i=1}^{n}A_{i} ⋃i=1nAi) = ∑ i = 1 n P ( A i ) \sum_{i=1}^{n}P(A_{i}) ∑i=1nP(Ai) - ∑ 1 ⩽ i < j ⩽ n n P ( A i A j ) \sum_{1\leqslant i< j\leqslant n}^{n}P(A_{i}A_{j}) ∑1⩽i<j⩽nnP(AiAj) + ∑ 1 ⩽ i < j < k ⩽ n n P ( A i A j A k ) \sum_{1\leqslant i< j<k\leqslant n}^{n}P(A_{i}A_{j}A_{k}) ∑1⩽i<j<k⩽nnP(AiAjAk) + … + ( − 1 ) n − 1 P ( A 1 A 2 . . . A n ) (-1)^{n-1}P(A_{1}A_{2}...A_{n}) (−1)n−1P(A1A2...An)
∑ i = 1 n P ( A i ) \sum_{i=1}^{n}P(A_{i}) ∑i=1
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