三角形最小路径和

动态规划，最后路径和最小，那么每一步必须最小

一、求解 

求出到达最后一层的所有最小路径，然后再求出其中最小的即可。

初始化二维数组用来存放结果

final int size = triangle.get(triangle.size() - 1).size();
int[][] result = new int[size][size];
result[0][0] = triangle.get(0).get(0);

状态转移方程

           

                                                                      

                                                                

其中的length对应三角形中每一行的路径长度。

填表

	0	1	2	3
0	2
1	5	6
2	11	10	13
3	15	11	18	16

代码

public static int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {

        final int size = triangle.get(triangle.size() - 1).size();
        int[][] result = new int[size][size];
        result[0][0] = triangle.get(0).get(0);
        if (size == 1){
            return result[0][0];
        }
        int min = Integer.MAX_VALUE;

        for (int i = 1; i < size; i++){
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
                if (j - 1 >= 0){

                    if (j == triangle.get(i).size() - 1){
                        result[i][j] = result[i-1][j-1] + triangle.get(i).get(j);
                    }else {
                        result[i][j] = Math.min(result[i -1][j - 1] + triangle.get(i).get(j), result[i -1][j] + triangle.get(i).get(j));
                    }
                }else {
                    result[i][j] = result[i - 1][j] + triangle.get(i).get(j);
                }
                if (i == size - 1){
                    min = Math.min(min, result[i][j]);
                }
            }
        }
        return min;

    }

二、优化

根据上边的转移方程以及填表的过程，要想保存前一个转移状态的话，那么只能倒着来计算最短路径，因为计算当前状态的值要用到前一状态，如果从上往下计算的话，前一天状态就会被覆盖。

初始状态

0	1	2	3
4	1	8	3

填表

扫描倒数第二行：

0	1	2	3
7	6	10	3

扫描倒数第三行：

0	1	2	3
9	10	10	3

扫描倒数第四行：

0	1	2	3
11	10	10	3

代码

public static int minimumTotal(List<List<Integer>> triangle) {
        final int size = triangle.get(triangle.size() - 1).size();
        int[] result = new int[size];
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            result[i] = triangle.get(triangle.size() - 1).get(i);
        }

        int length = triangle.size() - 2;
        for (int i = length; i >= 0; i--) {
            for (int j = 0; j < triangle.get(i).size(); j++) {
                result[j] = Math.min(triangle.get(i).get(j)+result[j], triangle.get(i).get(j)+result[j + 1]);
            }
        }
        return result[0];

    }