动态规划之最长公共子序列（LCS）

一：最长公共子序列（Longest Common Subsequence, LCS）概念

     举个例子，cnblogs这个字符串中子序列有多少个呢？很显然有2⁷个，比如其中的cb,cgs等等都是其子序列，一个字符串Str，去掉零个或者多个元素所剩下的子串称为Str的子序列，我们可以看出，子序列不见得一定是连续的，连续的那是子串。

     我想大家已经了解了子序列的概念，那现在可以延伸到两个字符串了，那么大家能够看出：cnblogs和belong的公共子序列吗？

在你找出的公共子序列中，你能找出最长的公共子序列吗？

从图中我们看到了最长公共子序列为blog，仔细想想我们可以发现其实最长公共子序列的个数不是唯一的，可能会有两个以上，

但是长度一定是唯一的，比如这里的最长公共子序列的长度为4

寻找LCS的一种方法是枚举X所有的子序列，然后注意检查是否是Y的子序列，并随时记录发现的最长子序列。假设X有m个元素，则X有2^m个子序列，指数级的时间，对长序列不实际。

使用动态规划求解这个问题，先寻找最优子结构。设X=<x₁,x₂,…,x_m>和Y=<y₁,y₂,…,y_n>为两个序列，LCS(X,Y)表示X和Y的一个最长公共子序列，可以看出

1. 如果x_m=y_n，则LCS ( X,Y ) = x_m + LCS ( X_m-1,Y_n-1 )。
2. 如果x_m!=y_n，则LCS( X,Y )= max{ LCS ( X_m-1, Y ), LCS ( X, Y_n-1 ) }

LCS问题也具有重叠子问题性质：为找出X和Y的一个LCS，可能需要找X和Y_n-1的一个LCS以及X_m-1和Y的一个LCS。但这两个子问题都包含着找X_m-1和Y_n-1的一个LCS，等等.

DP最终处理的还是数值（极值做最优解），找到了最优值，就找到了最优方案；为了找到最长的LCS，我们定义dp[i][j]记录序列