斐波那契数列的余数周期问题

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本文探讨了斐波那契数列在特定模数下的周期性特征，通过数学原理阐述了周期的存在性，并提供了一段C++代码实现来寻找该周期。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

斐波那契数列的余数周期问题

斐波那契余数周期性的原理
设 $E_{n,k}$ 为斐波那契数列对 $k$ 的余数数列，那么可以得到此数列的递推公式为
$E n + 2, k = (E n + 1, k + E n, k) m o d (k)$ $\begin{equation} E_{n+2,k}=(E_{n+1,k}+E_{n,k}) mod(k) \end{equation}$
而前两项肯定为1，并且 $E_{n,k}$ 必然会落在 $[0,k-1]$ 之间，如果把每一段在 $[0,k-1]$ 之间的子列划分成单独的部分，那么这每一个单独的部分必然是由此部分的前两项唯一确定的，那么 $E_{n,k}$ 在 $[0,k-1]$ 中的排列至多有 $k(k-1)$ 种可能（前两项在 $[0,k-1]$ 中的分布情况），所以 $E$ 必然是有周期的。
寻找周期的方法
寻找前两项与 $E_{1,k},E_{2,k}$ 相等的部分，那么那部分必然为下一个周期开始的地方

#include<iostream>
using namespace std;


int F(int n)
{
    int n1=1,n2=1;
    int n3;
    if(n==1||n==2) return 1;
    for(int i=3;i<=n;i++)
    {
        n3 = (n1+n2)%2010;
        n1 = n2;
        n2 = n3;
    }
    return n3;
}

int main()
{
    int first[8],cnt = 7;
    for(int i=1;i<=7;i++)
        first[i] = F(i);
    while(true)
    {
        if(F(cnt+1)==first[1])
        {
            if(F(cnt+2)==first[2])
            {
                cout<<"get:"<<cnt<<endl;
                break;
            }
        }
        cnt++;
    }
    return 0;
}