【JZOJ 3083】塔（加强）

最新推荐文章于 2021-04-09 22:37:50 发布

cervoliu

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分类专栏：题解 DP 单调队列文章标签： dp 单调队列

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单调队列

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本文介绍了一种优化游戏塔合并过程的算法，通过最少的操作次数使塔的高度形成非递减序列。利用单调队列来维护最少操作次数及每一步操作后的塔高。

Description

今天你瞄准了下述的好玩的游戏：

   首先是主角：塔。你有N座塔一列排开。每座塔各自有高度，有可能相等。      
   你每次可以选择相邻的两座塔合并在一起，即这两座塔的高度叠加后变成了同一座塔。然后原本分别与这两座塔相邻的塔变得与这座新的塔相邻。
    你的目标是在使用最少的操作次数在游戏的最后获得一列塔，这些塔的高度从左到右形成一个不下降的数列。

对于100%的数据 1<=N,Ai<=10^6

Analysis

首先，设 $f[i]$ 表示维护前 $i$ 个数的最少操作次数， $g[i]$ 表示 $f[i]$ 尽量小的前提下第 $i$ 个数的大小最小是多少。
可以发现一个神奇的性质，最小的 $g[i]$ 一定对应着最小的 $f[i]$ 。
很好证，将题转化成一列数分若干组，使得位置靠左的组内数之和<=其右边的组内的数之和。显然分的组数越多越好，因为 $ans=\sum_{i=1}^{num} size[i]-1=n-num$ 。
那么组越多，答案越小，组内数之和越小，证毕。
$f[i]=min(f[j-1]+i-j)(sum[i]-sum[j-1]\geq g[j-1]),g[i]=i-j$
那么距离 $i$ 最近的 $j$ 且满足不等条件的就是最优值。
然后这个东西可以扔进一个单调队列里面，维护一下。
但是这里的单调队列很神奇。
其队头合法，队头后面的全部不合法。
那么如果第二个位置合法了就把队头踢掉。
如果当前的比队尾将要更早被踢，其值却比队尾更优，就踢队尾。

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,b,a) for(int i=b;i>=a;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e6+10;
int n,m,f[N],q[N];
ll g[N],sum[N];
ll s(int l,int r){return sum[r]-sum[l-1];}
int main()
{
    int x;
    scanf("%d",&n);
    fo(i,1,n) scanf("%d",&x),sum[i]=sum[i-1]+x;
    int l=1,r=1;
    q[1]=1;
    fo(i,1,n)
    {
        while(l<r && s(q[l+1],i)>=g[q[l+1]-1]) l++;
        f[i]=f[q[l]-1]+i-q[l];
        g[i]=s(q[l],i);
        while(l<r && g[i]+sum[i]<g[q[r]-1]+sum[q[r]-1]) r--;
        q[++r]=i+1;
    }
    printf("%d",f[n]);
    return 0;
}